Rząd macierzy w zależności od parametru

[naciunia7]

Chciałabym się upewnić, czy mój tok rozumowania jest poprawny.

Należy znaleźć rząd macierzy w zależności od wartości parametru rzeczywistego \(\displaystyle{ p}\) .

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1 & -p\\
-2 & 2 & -2 & 2 \\
3 & p & 3 & p \\
p & 1 & p & 1 \\
\end{array} \right]}\)

Przekształciłam macierz, żeby łatwiej liczyło mi się wyznacznik, jest równy zero, więc rząd nie jest równy \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccc}
p & -p & 1\\
-2 & 2 & -2\\
3 & p & 3 \\
\end{array} \right|=2p^2+4p-6}\)

Zatem dla \(\displaystyle{ p=-3}\) lub \(\displaystyle{ p=1}\) ten minor byłby równy zero. Udało mi się jednak znaleźć inny minor trzeciego stopnia który zarówno dla \(\displaystyle{ -3}\) jak i \(\displaystyle{ 1}\) się nie zeruje, więc wniosek, że dla dowolnego \(\displaystyle{ p}\) macierz jest rzędu \(\displaystyle{ 3}\).

Inne przykłady wychodzą mi w podobny sposób, tj. że właściwie rząd nie zależy od tego parametru i stąd cień wątpliwości, czy dobrze rozumuję.

[kerajs]

więc wniosek, że dla dowolnego p macierz jest rzędu 3.

Prawie, ale jednak ...

\(\displaystyle{ rz\left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1 & -p\\
-2 & 2 & -2 & 2 \\
3 & p & 3 & p \\
p & 1 & p & 1 \\
\end{array} \right]=
rz\left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1 & 0 \\
-2 & 2 & -2 & 0 \\
3 & p & 3 & 0 \\
p & 1 & p & 0 \\
\end{array} \right]=
rz\left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1-p \\
-2 & 2 & 0 \\
3 & p & 0 \\
p & 1 & 0 \\
\end{array} \right]=\\=
rz\left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1-p \\
-2 & 2 & 0 \\
0 & p+ 3 & 0 \\
p+1 & 0 & 0 \\
\end{array} \right]=...}\)

[naciunia7]

W ten sposób faktycznie jest inaczej, jeden minor \(\displaystyle{ 3}\) stopnia jest zerowy, a drugi jest zerowy dla \(\displaystyle{ p=-3/2}\) lub \(\displaystyle{ p=1}\) .
Wychodziłoby z tego, że rząd jest równy \(\displaystyle{ 3}\) dla \(\displaystyle{ p}\) różnych od tych dwóch wyżej, a dla pozostałych \(\displaystyle{ 2}\) ? Gdzie jest w takim razie błąd w moim rozwiązaniu?

[kerajs]

Sprawdzając minory stopnia trzeciego musisz przeliczyć każdy z czterech mozliwych.

Tu
\(\displaystyle{ ...=
rz\left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1-p \\
-2 & 2 & 0 \\
0 & p+ 3 & 0 \\
p+1 & 0 & 0 \\
\end{array} \right]=...}\)
masz:

a) \(\displaystyle{ p=1}\)

\(\displaystyle{ ...=rz\left[ \begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 \\
-2 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
\end{array} \right]=...}\)

b)\(\displaystyle{ p \neq 1}\)

\(\displaystyle{ ...=1+rz\left[ \begin{array}{cccc}
-2 & 2 \\
0 & p+ 3 \\
p+1 & 0 \\
\end{array} \right]=...}\)
czy tu istnieje takie \(\displaystyle{ p \neq 1}\) że każdy z minorów stopnia drugiego jest zerem?

[naciunia7]

Nie bardzo rozumiem skąd się wzięła ta postać w b) \(\displaystyle{ 1+rz\big[\ \big]}\)
W każdym razie jeśli mam sprawdzać te minory drugiego stopnia w tej macierzy \(\displaystyle{ 3\times2}\) to tak, dla \(\displaystyle{ p=-3}\) każdy z minorów jest równy \(\displaystyle{ 0}\) . Czyli dla \(\displaystyle{ p=-3}\) jest rząd równy \(\displaystyle{ 1}\) ?
Ale przecież już wcześniej założyłam, że dla \(\displaystyle{ p}\) różnych od \(\displaystyle{ -3/2}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) rząd jest równy \(\displaystyle{ 3}\) , więc co to zmienia?

[kerajs]

\(\displaystyle{ ...=
rz\left[ \begin{array}{cccc}
p & -p & 1-p \\
-2 & 2 & 0 \\
0 & p+ 3 & 0 \\
p+1 & 0 & 0 \\
\end{array} \right]=...}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ p \neq 1}\) to pierwszy element w trzeciej kolumnie nie jest zerem. Ponieważ kolejne są zerami to mogę skreślić tę kolumnę i wiersz zawierający jedyny niezerowy wiersz z kolumny powiększając jednocześnie wartość rzędu o 1. Dzięki temu uzyskałem mniejszą macierz do zbadania rzędu. Stąd:
\(\displaystyle{ ...=1+rz\left[ \begin{array}{cccc}
-2 & 2 \\
0 & p+ 3 \\
p+1 & 0 \\
\end{array} \right]=...}\)
Pozostaje teraz sprawdzić czy tu istnieje takie p
eq 1 że każdy z minorów stopnia drugiego tej macierzy (3X2) jest zerem?
Jeśli takie p nie istnieje to rząd wynosi 3, jednak gdy istnieje to rząd wynosi 2 (ze względu na niezerowy element -2 (albo 2)).

[naciunia7]

Rozumiem!
Wniosek jest zatem taki:
dla \(\displaystyle{ p \neq 1}\) macierz ma rząd \(\displaystyle{ 2}\), dla pozostałych \(\displaystyle{ 3}\) .
Próbowałam znaleźć czemu mój sposób nie działał i widzę teraz, że źle policzyłam wyznaczniki minorów trzeciego stopnia dla \(\displaystyle{ p=1}\) i dlatego mi się nie wyzerowały... W każdym razie ten sposób jest dla mnie zupełnie jasny. Dziękuję