Układ wektorów

[lisowiecki]

Czy układ wektorów np \(\displaystyle{ (2,2,-1), (-1,2,2)}\) i \(\displaystyle{ (2,-1,2)}\):
A. Tworzy uklad ortogonalny ale nie jest bazą ortogonalną w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)
B. Tworzy bazę ortogonalną w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)
C. Zawiera parę wektorów, której iloczyn wektorowy jest różny od zera
D. Zawiera parę wektorów, której iloczyn skalarny jest rózny od zera
E. Wymienione odpowiedzi są błędne

Która odpowiedz jest poprawna? Wiem, że dla większości to błahe ale z góry dzięki za pomoc.

[a4karo]

A w czym potrzebujesz pomocy? Nie potrafisz policzyć iloczynów skalarnych i wektorowych?

[lisowiecki]

właśnie licząc i skalarnie i wektorowo wychodzą mi różne od zera. Stąd to pytanie. Jak ktoś wie, to proszę o odpowiedź, a ja sobie później już dojdę dlaczego i skąd sie to wzieło.

[Premislav]

To znaczy, że nie umiesz liczyć iloczynów skalarnych (wektorowych nie sprawdzałem, bo mi się nie chce). Tutaj masz to wyjaśnione:

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~msobol/wykl/ilskal1.pdf

Z małych rozrywek, od razu widać, że \(\displaystyle{ A}\) to nie jest prawda, bo mamy trzy niezerowe wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\), no to jeśli tworzą one układ ortogonalny, muszą też tworzyć bazę ortogonalną.

[lisowiecki]

czyli tutaj jest coś źle wyjaśnione?

czyli \(\displaystyle{ (-1,2,2)\circ(2,2,-1)\circ(2,-1,2)}\) to nie jest \(\displaystyle{ (-1) \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot (-1)+2 \cdot (-1) \cdot 2=-4-4-4=-12}\)?
Czyli poprawna jest odpowiedź B?

[Premislav]

Iloczyn skalarny jest odwzorowaniem określonym dla pary wektorów, a nie dla trójki.

[lisowiecki]

okej czyli skalarnie jest rożny od zera, nawet biorąc jakiekolwiek dwa wektory? Przepraszam, ale nie jestem wybitny, dlatego proszę o pomoc nawet w tak prostym jak widać zadaniu Mógłbyś mi powiedzieć, która jest poprawna a już sam naprawde dojde sobie do tego. Z góry dziękuje.

[Premislav]

Ja też nie jestem wybitny, nawet nie stałem obok wybitności (chyba że na przerwie między zajęciami na korytarzu), ale chyba znajomość podstawowych definicji to nie są za duże wymagania. Nie wykładamy tu w założeniu całej matematyki od podstaw, tę rolę powinien spełniać wykład, a jak nie, to jakiś podręcznik czy skrypt.
Nie rozumiem skąd u Ciebie takie wnioskowanie:

okej czyli skalarnie jest rożny od zera, nawet biorąc jakiekolwiek dwa wektory?

Zacząłeś od tego, że stwierdziłeś, iż iloczyn skalarny wychodzi Ci wszędzie różny od zera, ja napisałem, że to źle, a potem dalej się przy tym trzymasz.
Standardowy iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest określony tak:
wektorom \(\displaystyle{ (x_1, x_2\ldots x_n)}\) i \(\displaystyle{ (y_1, y_2\ldots y_n)}\) przypisuje on taką sumę iloczynów po współrzędnych:
\(\displaystyle{ x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n}\)
czyli na przykład
\(\displaystyle{ (2,2,-1)\circ (-1, 2,2)=2\cdot(-1)+2\cdot 2+(-1)\cdot 2=0}\)

Przelicz pozostałe iloczyny skalarne i wyciągnij wnioski, jak Ci napiszę po prostu, która odpowiedź jest poprawna, to resztę zapewne olejesz.