Jeżeli mam dane 4 wektory(wszystkie czterowymiarowe, podane konkretne wartości liczbowe), mam znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni V generowanej przez te wektory w przestrzeni r=R^{4}.
Ułożyłem macierz, wyznaczyłem rząd macierzy, który jest równy 2 - czyli podprzestrzeń V ma wymiar 2 i teraz baza. Mam do wyboru 4 wektory, czyli 6 kombinacji wektorów. Jeżeli w poleceniu jest, żeby podać wymiar i bazę to mogę po prostu napisać, że wymiar jest równy 2, a bazą są wektory, np. \(\displaystyle{ w_{1}}\) i \(\displaystyle{ w_{2}}\). Czy muszę sprawdzać wszystkie możliwe kombinacje tych wektorów?
Wektory generujące podprzestrzeń
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Wektory generujące podprzestrzeń
Brak w Twojej wypowiedzi precyzji, co bowiem oznaczają \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_1}\)?
Jeśli wezmę sobie wektory \(\displaystyle{ w_1 = (1,0,0,0), w_2 = (0,1,0,0) , w_3 = (1,1,0,0), w_4 = (2,2,0,0)}\), to istotnie, \(\displaystyle{ w_1, w_2}\) rozpinają podprzestrzeń, ale nie rozpinają jej dowolne dwa wektory z tego zbioru, bo przecież \(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (2,2,0,0)}\) podprzestrzeni dwuwymiarowej już nie tworzą.
Jeśli rząd wyszedł \(\displaystyle{ 2}\) to jak najbardziej, wymiar podprzestrzeni jest równy dwa, a zatem do bazy wystarczy wybrać dowolne dwa liniowo niezależne ze sobą wektory. W podanym przeze mnie przypadku dozwolone kombinacje to:\(\displaystyle{ \{ w_1 , w_2 \}, \{ w_1 , w_3 \} , \{ w_1 , w_4 \} , \{ w_2 , w_3 \} , \{ w_2 , w_4 \}}\), ale już nie \(\displaystyle{ \{ w_3 , w_4 \}}\).
Jeśli wezmę sobie wektory \(\displaystyle{ w_1 = (1,0,0,0), w_2 = (0,1,0,0) , w_3 = (1,1,0,0), w_4 = (2,2,0,0)}\), to istotnie, \(\displaystyle{ w_1, w_2}\) rozpinają podprzestrzeń, ale nie rozpinają jej dowolne dwa wektory z tego zbioru, bo przecież \(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (2,2,0,0)}\) podprzestrzeni dwuwymiarowej już nie tworzą.
Jeśli rząd wyszedł \(\displaystyle{ 2}\) to jak najbardziej, wymiar podprzestrzeni jest równy dwa, a zatem do bazy wystarczy wybrać dowolne dwa liniowo niezależne ze sobą wektory. W podanym przeze mnie przypadku dozwolone kombinacje to:\(\displaystyle{ \{ w_1 , w_2 \}, \{ w_1 , w_3 \} , \{ w_1 , w_4 \} , \{ w_2 , w_3 \} , \{ w_2 , w_4 \}}\), ale już nie \(\displaystyle{ \{ w_3 , w_4 \}}\).
Re: Wektory generujące podprzestrzeń
Mam wektory:
\(\displaystyle{ w_{1}=[-1,4,-3,-2]}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=[3,-7,5,3]}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=[3,-2,1,0]}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=[-4,1,0,1]}\)
To są te konkretne wektory z zadania, policzyłem rząd macierzy, wyszedł 2, wziąłem wektor \(\displaystyle{ w_{1}}\) i \(\displaystyle{ w_{2}}\), są one liniowo niezależne, czyli mogę je zapisać jako bazę tej podprzestrzeni V?
\(\displaystyle{ w_{1}=[-1,4,-3,-2]}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=[3,-7,5,3]}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=[3,-2,1,0]}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=[-4,1,0,1]}\)
To są te konkretne wektory z zadania, policzyłem rząd macierzy, wyszedł 2, wziąłem wektor \(\displaystyle{ w_{1}}\) i \(\displaystyle{ w_{2}}\), są one liniowo niezależne, czyli mogę je zapisać jako bazę tej podprzestrzeni V?