Zbiór liczb postaci {a + b\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) + c\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + d\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) + e\(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) :a, b, c, d, e ∈ \(\displaystyle{ \QQ}\)} tworzy przestrzeń wektorową nad ciałem liczb wymiernych. Znajdź bazę tej przestrzeni.
Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, byłbym wdzięczny za każdą wskazówkę!
Baza przestrzeni
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Baza przestrzeni
\(\displaystyle{ \sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 4}=2\sqrt{3}}\), więc układ
\(\displaystyle{ (1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{12})}\) jest liniowo zależny nad \(\displaystyle{ \QQ}\)
- można wziąć \(\displaystyle{ 0=0\cdot 1+0\cdot \sqrt{2}+(-2)\cdot \sqrt{3}+0\cdot \sqrt{6}+1\cdot \sqrt{12}}\).
Natomiast już układ
\(\displaystyle{ (1,\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \QQ}\), ale to wymaga trochę uciążliwych rachunków lub skorzystania z pewnej wiedzy o pierścieniach. Ale można tego nie nazywać pierścieniami i mniej uciążliwie porachować. Zacznij od pokazania, że dla dowolnej liczby naturalnej bezkwadratowej \(\displaystyle{ q}\) (tj. niepodzielnej przez kwadrat żadnej liczby pierwszej)
zbiór \(\displaystyle{ A_q=\left\{ a+b\sqrt{q}: \ a,b\in \QQ\right\}}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \QQ}\) wymiaru dwa. Następnie można pokazać, że dla \(\displaystyle{ q\neq p}\) mamy
\(\displaystyle{ A_q\cap A_p=\QQ}\). Sorry, ale rachunków Ci pisać nie będę, są za nudne, sam je przeprowadź.
Dobrą bazą jest np. \(\displaystyle{ \left( 1,\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\right)}\).
\(\displaystyle{ (1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{12})}\) jest liniowo zależny nad \(\displaystyle{ \QQ}\)
- można wziąć \(\displaystyle{ 0=0\cdot 1+0\cdot \sqrt{2}+(-2)\cdot \sqrt{3}+0\cdot \sqrt{6}+1\cdot \sqrt{12}}\).
Natomiast już układ
\(\displaystyle{ (1,\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})}\) jest liniowo niezależny nad \(\displaystyle{ \QQ}\), ale to wymaga trochę uciążliwych rachunków lub skorzystania z pewnej wiedzy o pierścieniach. Ale można tego nie nazywać pierścieniami i mniej uciążliwie porachować. Zacznij od pokazania, że dla dowolnej liczby naturalnej bezkwadratowej \(\displaystyle{ q}\) (tj. niepodzielnej przez kwadrat żadnej liczby pierwszej)
zbiór \(\displaystyle{ A_q=\left\{ a+b\sqrt{q}: \ a,b\in \QQ\right\}}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \QQ}\) wymiaru dwa. Następnie można pokazać, że dla \(\displaystyle{ q\neq p}\) mamy
\(\displaystyle{ A_q\cap A_p=\QQ}\). Sorry, ale rachunków Ci pisać nie będę, są za nudne, sam je przeprowadź.
Dobrą bazą jest np. \(\displaystyle{ \left( 1,\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\right)}\).