Wartości własne macierzy + dowód.

[Vince221]

Witam serdecznie wszystkich!

Mam problem z zadaniem o treści:

Znaleźć wartości własne macierzy \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}}\) i wykazać, że macierz jest pierwiastkiem macierzowym swojego równania charakterystycznego.

Oczywiście problem pojawia się po wyliczeniu \(\displaystyle{ \lambda}\) z macierzy \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 3 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix}}\), oczywiście licząc to jako wyznacznik dostajemy równanie kwadratowe 2-ego stopnia i liczmy \(\displaystyle{ \delta}\) oraz pierwiastki tego równania.

Ponieważ jak podstawiam \(\displaystyle{ \lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{13} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ \lambda_1 = \frac{3 - \sqrt{13} }{2}}\) do macierzy jako \(\displaystyle{ \lambda}\) to wyznacznik nie wychodzi 0.

Liczyłem zadanie już kilka razy ale wynik wychodzi za każdym razem taki sam. Nie znam poprawnej odpowiedzi, więc zwracam się o pomoc

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 - \frac{3 + \sqrt{13} }{2} & 3 \\ 1 & 2 - \frac{3 + \sqrt{13} }{2} \end{vmatrix}=\frac{-1 - \sqrt{13} }{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{13} }{2}-3=\frac{-(1-13) }{4}-3=0}\)

b)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 - \frac{3 - \sqrt{13} }{2} & 3 \\ 1 & 2 - \frac{3 - \sqrt{13} }{2} \end{vmatrix}=\frac{-1 + \sqrt{13} }{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{13} }{2}-3=\frac{13-1 }{4}-3=0}\)

[Vince221]

Dziękuję teraz widzę od razu swój błąd. W wyrazie \(\displaystyle{ a_2_2}\) sprowadzając do wspólnego mianownika wychodziło mi 4-3 i źle napisałem znak zamiast 1 wychodziło mi -1! Przez to się sypało zadanie!

I pytanie czy podstawiając te wartości pod \(\displaystyle{ \lambda}\) zadanie się kończy czy wymaga dalej kontynuacji ?

Dziękuję za pomoc!

[kerajs]

Zgodnie z treścią zadania masz jeszcze:

wykazać, że macierz jest pierwiastkiem macierzowym swojego równania charakterystycznego.

Równanie charakterystyczne to:
\(\displaystyle{ \lambda^2-3\lambda-1=0}\)
teraz za każdą lambdę wstawiasz Twoją macierz i sprawdzasz poprawność tego równania.

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}^2-3\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}-1=0}\)
\(\displaystyle{ L=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}^2-3\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=P}\)

[Vince221]

Dziękuję bardzo za pomoc!

Do zamknięcia.