Jak znaleźć bazę tej przestrzeni?

[k221]

Mam zadanie:

Podaj bazę przestrzeni:
\(\displaystyle{ V = lin(x^2+3x+1 , -x^2+2x+2 , 2x^2-9x-7 , x^2-2x-2)}\)
i zanjdź w tej bazie współrzędne wektorów:
\(\displaystyle{ v _{1}(x) = -x^2+2x+2 \\
v _{2}(x) = 1}\)

I teraz mnie przystawiło na samym końcu przy 2 wektorze i nie wiem czy całe zadanie mam źle lub może w ogóle to źle rozumiem, byłbym więc wdzięczny za spojrzenie na to co zrobiłem, ewentualnie podesłanie rozwiązania. Więc moje rozwiązanie:

Jak dobrze rozumiem V jest przestrzenią wektorową rozpinaną przez wszystkie możliwe kombinacje liniowe podanych 4 wektorów (podprzestrzeń generowana przez te wektory)

Najpierw sprawdźmy czy są one liniowo niezależne.

Od razu widać że wektory \(\displaystyle{ -x^2+2x+2}\) i \(\displaystyle{ x^2-2x-2}\) są liniowo zależne, bo jeden powstaje przez pomnożenie drugiego przez -1, więc i nad przestrzeń (całość jest liniowo zależna).

Zostają 3 wektory, sprawdźmy czy są liniowo zależne, najprościej będzie sprawdzić czy kombinacja liniowa dwóch daje trzeci:
\(\displaystyle{ \alpha (x^2+3x+1) + \beta (-x^2+2x+2) = 2x^2-9x-7
\\\\( \alpha - \beta )x^2 + x(3 \alpha + 2 \beta ) + \alpha +2 \beta = 2x^2-9x-7
\\\\\alpha - \beta = 2 \Rightarrow \alpha = \beta + 2
\\\\3 \alpha + 2 \beta = -9 \Rightarrow 3(\beta + 2 ) + 2 \beta = -9 \Rightarrow 5 \beta = -15 \Rightarrow \beta =-3
\\\\\alpha = \beta + 2 \Rightarrow \alpha = -1
\\\\\alpha +2 \beta = -1 + 2 \cdot (-3) = -7}\)

Czyli wektory są liniowo zależne.
Zostają nam więc wektory: \(\displaystyle{ x^2+3x+1}\) i \(\displaystyle{ -x^2+2x+2}\)
Tutaj widać że są liniowo niezależne.

mamy więc bazę:
\(\displaystyle{ B = (x^2+3x+1, -x^2+2x+2)}\)

Teraz druga część zadania, znalezienie współrzędnych wektorów w tej bazie.
Współrzędne wektora \(\displaystyle{ v _{1}(x) = -x^2+2x+2}\) to \(\displaystyle{ [0,1] _{B}}\)
Współrzędne wektora \(\displaystyle{ v _{2}(x) = 1}\) to ... i tutaj się sypie moje rozwiązanie bo:
\(\displaystyle{ \alpha (x^2+3x+1) + \beta (-x^2+2x+2) = 1

\\\\ ( \alpha - \beta )x^2 + x(3 \alpha + 2 \beta ) + \alpha +2 \beta = 1

\\\\ \alpha - \beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta

\\\\\alpha +2 \beta = 1 \Rightarrow \alpha = 1 - 2 \beta \Rightarrow 0 \neq 1}\)

Bardzo prosiłbym o wyjaśnienie bo pewnie coś źle zrozumiałem i mi się rozwiązanie posypało.
Z góry dziękuję

[Premislav]

Jak dobrze rozumiem V jest przestrzenią wektorową rozpinaną przez wszystkie możliwe kombinacje liniowe podanych 4 wektorów (podprzestrzeń generowana przez te wektory)

Tak.

mamy więc bazę:
\(\displaystyle{ B = (x^2+3x+1, -x^2+2x+2)}\)

Rzuciłem okiem i do tego miejsca jest OK.

Współrzędne wektora \(\displaystyle{ v _{1}(x) = -x^2+2x+2}\) to \(\displaystyle{ [0,1] _{B}}\)
Współrzędne wektora \(\displaystyle{ v _{2}(x) = 1}\) to ... i tutaj się sypie moje rozwiązanie bo:
\(\displaystyle{ \alpha (x^2+3x+1) + \beta (-x^2+2x+2) = 1

\\\\ ( \alpha - \beta )x^2 + x(3 \alpha + 2 \beta ) + \alpha +2 \beta = 1

\\\\ \alpha - \beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta

\\\\\alpha +2 \beta = 1 \Rightarrow \alpha = 1 - 2 \beta \Rightarrow 0 \neq 1}\)

Raczej nic się nie sypie, tylko treść zadania jest wadliwa (zaraz pójdą uwagi, że zadanie miało być podchwytliwe, ale nie, z logicznego punktu widzenia to jest źle postawione zadanie i koniec, podobnie zadanie „oblicz granicę" w przypadku, w którym granica nie istnieje).
Można patrzeć na \(\displaystyle{ \Lin \ V}\) jak na pewną podprzestrzeń liniową przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) o współczynnikach rzeczywistych. Przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) o współczynnikach rzeczywistych ma wymiar \(\displaystyle{ 3}\) (jej baza to na przykład \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\)). Twoja \(\displaystyle{ \Lin V}\) ma tymczasem wymiar \(\displaystyle{ 2}\), czyli mniej niż \(\displaystyle{ 3,}\) więc nie każdy wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) o współczynnikach rzeczywistych należy do \(\displaystyle{ \Lin V}\). Np. \(\displaystyle{ v_2(x)=1}\) nie należy, jak pokazują Twoje rachunki.