Hej,
załóżmy, że mam równanie macierzowe postaci:
\(\displaystyle{ AX = A}\)
Teraz po mnożeniu przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) obydwu stron powinnam zapisać:
\(\displaystyle{ X = AA^{-1}}\)
czy może:
\(\displaystyle{ X = A^{-1}A}\)
Od czego to zależy? Jak wiadomo mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc powyższe działania zwrócą różne wyniki, stąd moje wątpliwości.
Mnożenie macierzy w równaniach macierzowych
-
Cassandra19x
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 23 sie 2016, o 00:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Mnożenie macierzy w równaniach macierzowych
W tym przypadku to, czy wymnożysz z lewej czy z prawej strony nie ma znaczenia, bo widać, że \(\displaystyle{ X}\) musi być macierzą jednostkową. A swoją drogą, to nie możesz sobie mnożyć nie wiedząc, czy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa.
W ogólności, gdybyśmy mieli \(\displaystyle{ AX = Y}\), to mnożąc z lewej strony mamy \(\displaystyle{ A^{-1} A X = A^{-1} Y}\), a więc \(\displaystyle{ \left( A^{-1} A \right) X = A^{-1} Y}\), czyli \(\displaystyle{ IX = X = A^{-1}Y}\). Mnożąc zaś z prawej: \(\displaystyle{ AXA^{-1} = YA^{-1}}\). Nic więcej z tym nie zrobimy, bo przecież nie możemy sobie po prawej stronie równania zamienić kolejnością macierzy, jak słusznie zauważyłaś mnożenie macierzy nie jest przemienne. Należy zatem zawsze rozróżniać w przypadku macierzy mnożenie lewostronne od prawostronnego.
W ogólności, gdybyśmy mieli \(\displaystyle{ AX = Y}\), to mnożąc z lewej strony mamy \(\displaystyle{ A^{-1} A X = A^{-1} Y}\), a więc \(\displaystyle{ \left( A^{-1} A \right) X = A^{-1} Y}\), czyli \(\displaystyle{ IX = X = A^{-1}Y}\). Mnożąc zaś z prawej: \(\displaystyle{ AXA^{-1} = YA^{-1}}\). Nic więcej z tym nie zrobimy, bo przecież nie możemy sobie po prawej stronie równania zamienić kolejnością macierzy, jak słusznie zauważyłaś mnożenie macierzy nie jest przemienne. Należy zatem zawsze rozróżniać w przypadku macierzy mnożenie lewostronne od prawostronnego.