Wektory prostopadłe

[Melquiades1]

Mam podane wektory: \(\displaystyle{ \vec{a}=[1, 3, 4], \vec{b}=[-3, 0, 1], \vec{c}=[1, -3, 2]}\). Mam wyznaczyć, czy prostopadłe są wektory \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}-\vec{c}}\).
Jeśli chodzi o iloczyny wektorów, to nie mam z tym problemów, ale nie wiem jak się to robi z sumami i różnicami.

[janusz47]

Jak obliczamy sumę, czy różnicę dwóch wektorów? Jakie działania wykonujemy na ich współrzędnych?

[Melquiades1]

Jak obliczamy sumę, czy różnicę dwóch wektorów? Jakie działania wykonujemy na ich współrzędnych?

Odpowiednio: dodajemy i odejmujemy te współrzędne.

[janusz47]

To w czym problem?

Obliczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{s} = \vec{a}+\vec{b},}\) oraz wektora \(\displaystyle{ \vec{r} = \vec{b}- \vec{c}.}\).

Sprawdzamy, czy wektory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{r}}\) są prostopadłe?

[Melquiades1]

\(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b} = [-2,3,5] \\
\vec{b} - \vec{c} = [-4,3,-1]\\
\vec{s} \times \vec{r} = [-2,3,5] \times [-4,3,-1] = 8 + 9 - 5 = 12}\)

Tak to powinno wyglądać?

[janusz47]

Tak! Jaki wniosek ?

[Melquiades1]

Teraz rozumiem. Myślałem, że \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} - \vec{c}}\) to są 2 osobne przykłady i najpierw trzeba sprawdzić tę sumę czy wektory są prostopadłe, a potem tę różnicę. Przeszłocmi przez myśl, że może to jest jeden przykład i trzeba zrobić tak w rozwiązaniu, ale wydało mi się to zbyt proste, by było prawdopodobne.

A wniosek jest taki, że nie są prostopadłe, gdyż iloczyn nie jest równy 0.

[janusz47]

Świetnie!

To może jeszcze jedno pytanie.

Jaki kąt tworzą między sobą wektory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{r}}\)?

[Melquiades1]

Świetnie!

To może jeszcze jedno pytanie.

Jaki kąt tworzą między sobą wektory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{r}}\)?

Nie wiem, czy dobrze rozumiem, ale...chodzi o kąt ostry?

[janusz47]

Tak.

[Melquiades1]

A jest jakaś zależność, kiedy kąt będzie rozwarty, a kiedy ostry, czy trzeba to liczyć?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \vec{s}\cdot \vec{r} = |\vec{s}|\cdot |\vec{r}|\cdot \cos(\angle (\vec{s}, \vec{r})).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \cos(\angle (\vec{s}, \vec{r}))= \frac{\vec{s}\cdot \vec{r}}{ |\vec{s}|\cdot |\vec{r}|}.}\)

W Twoim zadaniu:

\(\displaystyle{ \cos(\angle (\vec{s}, \vec{r})) = \frac{12}{\sqrt{(-2)^2+3^2+5^2}\cdot \sqrt{(-4)^2+3^2+(-1)^2}}= \frac{12}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{26}}= 0,38177.}\)

\(\displaystyle{ |\angle (\vec{s}, \vec{r})| \approx 67,6^{o}.}\)

Jeśli iloczyn skalarny wektorów ma wartość dodatnią, to kąt między tymi wektorami jest ostry.

Jeśli iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru, to kąt między wektorami jest prosty.

Jeśli iloczyn skalarny wektorów ma wartość ujemną, to kąt między wektorami jest rozwarty.