Matematyka.pl

Mam sprawdzić, czy zbiór

\(\displaystyle{ H:=\left\{ \begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}: a \in \mathbb{Z}\right\}}\)

tworzy podgrupę macierzy \(\displaystyle{ GL _{2}(\mathbb{R})}\)

Czyli wystarczy sprawdzić że wyznacznik dowolnej macierzy ze zbioru \(\displaystyle{ H}\) jest różny od zera ?

Czy coś jeszcze ?

Nie. trzeba jeszcze sprawdzić zamknięcie tego zbioru na działanie i branie elementu odwrotnego

Jasne że „coś jeszcze" Wiesz w ogóle, co to jest grupa czy podgrupa? Jak nie, to sprawdź, powinnaś mieć te definicje na zajęciach (jeżeli nie było Cię na zajęciach, to weź notatki od znajomych albo poczytaj np. tu
Podpowiem, że jest to podgrupa \(\displaystyle{ GL_{2}(\RR)}\)
Najprościej to udowodnić tak:
wyznacznik macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ a\in \ZZ}\) (a nawet ogólniej, choćby i dla \(\displaystyle{ a\in \CC}\)) jest równy \(\displaystyle{ 1\neq 0}\), zatem \(\displaystyle{ H}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ GL_2(\RR)}\).
Ponadto:
1) element neutralny w \(\displaystyle{ GL_2(\RR)}\) z działaniem mnożenia macierzy, czyli \(\displaystyle{ I=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}}\), jest elementem \(\displaystyle{ H}\), wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=0}\);
2) jeżeli \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in \ZZ}\), to bezpośredni rachunek pokazuje, że \(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix} 1-a&a\\-a&1+a\end{bmatrix}}\) (obliczenia sobie przeprowadź), więc gdy \(\displaystyle{ A \in H}\), to także \(\displaystyle{ A^{-1}\in H}\)
3) Pokaż bezpośrednim rachunkiem (chyba macierze umiesz mnożyć), że gdy
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}, \ a \in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 1+b&-b\\b&1-b\end{bmatrix}, \ b \in \ZZ}\),
to macierz \(\displaystyle{ AB}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1+c&-c\\c&1-c\end{bmatrix}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c \in \ZZ}\).
Łączności sprawdzać nie trzeba (czemu?).

Wiem co to są grupy i jak się to sprawdza. Po prostu do tej pory we wszystkich zadaniach było jasno wskazane o jakie działanie chodzi, np. sprawdź czy para (G,+) jest grupą. Tutaj nie ma napisanego działania i to mnie zmyliło, człowiek ma chyba prawo się pomylić od czasu do czasu, co nie ? Wolałam się więc zapytać, i wychodzi na to że dobrze zrobiłam bo wyprowadziliście mnie z błędu Bardzo dziękuję za pomoc

P.S.
I tak, umiem mnożyć macierze