Równanie macierzowe - wyznacznik macierzy A

[Knyfelek]

Obliczyć wyznacznik odwracalnej macierzy A ∈ M(R, n × n), która spełnia równanie :

\(\displaystyle{ A * A^{T} * A - 16 * A^{-1} = 0}\)

Kompletnie nie mam pojęcia jak to zrobić. Tym bardziej, że mam otrzymać wyznacznik macierzy w wyniku. Bardzo proszę o pomoc jak robić tego typu zadania.

[a4karo]

Przenieś drugi składnik na prawa stronę i pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ A}\). Zastosuj znane wzory opisujące własności wyznacznika.

[Knyfelek]

\(\displaystyle{ A*A^{T}*A*A=16*I}\)

I - macierz jednostkowa
Skoro jej wyznacznik jest równy 1 i jest pomnożony przez 16, a po lewej stronie mam wyznacznik macierzy A do 4tej potęgi to taki wynik jest poprawny? Czy nagle z działania na macierzach mogę przejść na wyznaczniki i zapisać to tak?

\(\displaystyle{ (det A)^{4}=16}\)

\(\displaystyle{ det A = 2}\)

[a4karo]

Prawie. Połknąłeś parę kroków w tym rozumowaniu.
Po pierwsze, powinieneś powołać się na twierdzenia i własności, z których korzystasz.

Po drugie, ostateczny wynik nie jest do końca prawdą

[Knyfelek]

Jeśli dobrze rozumiem to powinienem zapisać, że \(\displaystyle{ A^{-1}*A=I}\) oraz że
\(\displaystyle{ detA=detA^{T}}\)

Co do wyniku to zapomniałem wziąć pod uwagę, że są dwie możliwości:

\(\displaystyle{ (detA)^{4}=16}\)
\(\displaystyle{ detA=2}\) lub \(\displaystyle{ detA=-2}\)

Czy teraz zadanie jest rozwiązane poprawnie?

[a4karo]

Jeszcze brak powołania się na twierdzenie Cauchy'ego, że wyznacznik iloczynu macierzy to iloczyn wyznaczników

[Knyfelek]

Dziękuję bardzo za pomoc!