Matematyka.pl

W jaki sposób wyznacza się pełną kontrakcję tensora?
Na przykład coś takiego:
\(\displaystyle{ e_1 \otimes (e_1^*+e_2^*+e_3^*+e_4^*)+e_2 \otimes (e_1^*+2e_2^*+2e_3^*+4e_4^* )+2e_3 \otimes (e_1^*-e_2^*-e_4^*)}\)

-- 10 lis 2017, o 02:02 --

Albo zacznę od pytania: Co to jest kontrakcja tensora? Nie znalazłem zrozumiałych informacji.

W przypadku tensorów drugiego rzędu (bo taki przykład zapodałeś), kiedy można tensor wyreprezentować macierzą kwadratową, kontrakcja to po prostu ślad tej macierzy. Dla ogólnych tensorów kontrakcja jest po prostu uogólnieniem śladu. Formalnie w tym przypadku obliczamy elementy kowariantne na kontrawariantnych:

\(\displaystyle{ (e_1^*+e_2^*+e_3^*+e_4^*)(e_1)+(e_1^*+2e_2^*+2e_3^*+4e_4^* )(e_2 )+(e_1^*-e_2^*-e_4^*)(2e_3 )=1+2+0+0=3}\)

Z tego też względu nie ma sensu mówienie o kontrakcji tensora całkowicie kowariantnego, albo całkowicie kontrawariantnego, gdzieś ta "wariantność" musi się różnić. W przypadku tensora trzeciego lub większego rzędu musimy określić pomiędzy którymi 'wskaźnikami' dokonujemy kontrakcji. Np. jeśli tensor trzeciego rzędu jest dany w postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{i,j,k}A^i_{\phantom{i}jk} e_i\otimes e_j^*\otimes e_k^*}\)
i zwężamy pierwszy wskaźnik z ostatnim, to formalnie daje to tensor kowariantny pierwszego rzędu:
\(\displaystyle{ \sum_{i,j,k}A^i_{\phantom{i}jk} e_j^*\cdot e_k^*(e_i)=\sum_{i,j,k}A^i_{\phantom{i}jk}\delta^k_i e_j^*=\sum_{i,j}A^i_{\phantom{i}ji}e_j^*}\).