Matematyka.pl

Mam jedno zadanie z którym nie umiem sobie poradzić:

Pokazać, że \(\displaystyle{ A \in M _{2\times 2}\left( \CC\right)}\) komutuje z każą macierzą symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A= \alpha I}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \CC}\).

\(\displaystyle{ \CC}\) - zbiór liczb zespolonych

Oczywiste jest (łatwo pokazać) implikacje w jedną stronę (gdy założę, że \(\displaystyle{ A= \alpha I}\) ).
Natomiast nie potrafię tego pokazać w drugą stronę. Proszę o rozwiązanie/dowód tego zadania.

Spróbuj poeksperymentować z macierzami postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\) i zobacz co wyjdzie

policz komutator macierzy \(\displaystyle{ A}\) z macierzą symetryczną.

Próbuje i dalej mi coś nie wychodzi. Mógłby ktoś naprowadzić jak zabrać się do dowodu?

Po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}}\) oraz przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\) doszedłem do wniosku, że:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}=\left( \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)}\)

W macierzach zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania, więc można zastosować taki myk.
Stwierdziłem, że gdy mnożyć będę macierz symetryczną przez macierz identycznościową z obu stron wyjdzie mi ta sama macierz symetryczna ( więc macierz identycznościowa komutuje z każdą macierzą symetryczną) - ten wniosek wyprowadziłem z tego jak wyglądają macierze po przemnożeniu obustronnie przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}}\) oraz przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\).
Gdy pomnożę macierz identycznościową przez skalar \(\displaystyle{ \alpha}\) , to macierz ta będzie komutowala z macierzą symetryczną, ponieważ nie ważne jest czy skalar będziemy mnożyć od lewej czy od prawej strony to i tak będzie równe. ( Dobrze rozumuję?)

Rodzi się pytanie, czy takim rozumowaniem stwierdzam że WTEDY I TYLKO WTEDY?
Podałem tylko, że macierz komutuje z macierzą symetryczną wtedy, gdy jest postaci \(\displaystyle{ A= \alpha \cdot I}\) , a co z innymi przypadkami? Jak zakończyć zadanie, by było ładnie dowiedzione?

To, że macierz jednostkowa (oraz jej wielokrotności) komutuja z każdą macierzą (nie tylko symetyczną) jest dośc trywialnym faktem.

Weż macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\) i pomnóż ją w jednej strony przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\).
A potem pomnóż tę samą macierz z drugiej strony . Porównaj wyniki. Wyciagnij wniosek.

Potem zrób to samo z macierzą \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\).

To ja niewiem już jak wykazać, że macierz \(\displaystyle{ A}\) komutuje z każdą macierzą symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A= \alpha \cdot I}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do zbioru liczb zespolonych, a macierz \(\displaystyle{ A}\) do zbioru macierzy zespolonych 2 stopnia.

Chcę dowieźć implikacji \(\displaystyle{ " \Rightarrow "}\).
Więc wybieram macierz \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\).
Mnożę ją obustronnie przez dowolną macierz symetryczną \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} e&f\\f&g\end{bmatrix}}\).
Dostaję układ równań, z którego nie potrafię wywnioskować/dowieźć że macierz \(\displaystyle{ A}\) musi być postaci \(\displaystyle{ A= \alpha \cdot I}\).

Dobrze zacząłem dowód? Jeśli tak proszę o pomoc jak go dokończyć, bo już pokreśliłem po kartkach i niewiem co robić.
Jeśli źle, to proszę pokażcie mi w jaki sposób dowodzić tego zadania.

Zastanawiam się czy Ty w ogóle czytasz to, co napisałem?

Czytam, ale masz "Błąd w formule" i nie widać macierzy.
Chciałbym się dowiedzieć, co jest złego w moim rozumowaniu, naprowadzenie na dobry tok myślenia, ewentualnie pokazanie dowodu.

Poprawiłem, przepraszam

a4karo, Dziękuję!|

Pod prysznicem wreszcie zrozumiałem o co chodziło Ci i wykazalem to ! Zrobilem dowód
Dziękuję bardzo za pomoc.