Zadania z właściwości norm macierzy

[ketepole]

Cześć:) szukam pomocy w rozwiązaniu zadań:

\(\displaystyle{ 1. ||A||_2 = \sqrt{||A^T A||_2}}\)

\(\displaystyle{ 2. ||A||_2 = \sqrt{|\lambda _{\max }|}}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda _{\max }}\) to max. wartość własna macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\)

\(\displaystyle{ 3. ||A||_2 = ||A^T||_2}\)

[janusz47]

Jaka jest treść zadań?

Czy mamy wykazać wzory 1. 2. 3. na normę drugą macierzy?

[ketepole]

Należy udowodnić te równości. Udało mi się zrobić jedną, ale tych trzech nie potrafię.

[janusz47]

1.

Jest to norma euklidesowa macierzy:

\(\displaystyle{ \parallel A \parallel_{2} = \sqrt{\parallel A^{T}\cdot A\parallel}.}\)-

Proszę sprawdzić, że spełnia ona wszystkie własności normy.

2.

Jest to norma spektralna macierzy:

Wykorzystujemy równoważną postać normy euklidesowej macierzy:

\(\displaystyle{ \parallel A\paralle_{2}=\max_{\parallel x\neq 0 \parallel } \frac{|A\cdot x|^2}{|x|^2_{2}}}\) (1)

Zapisujemy licznik i mianownik wyrażenia (1) w postaci iloczynowej i wykorzystujemy iloraz Rayleigh'a.

3.

To zwykłe sprawdzenie, że operacja transpozycji nie zmienia normy euklidesowej macierzy.

[ketepole]

1. Nie rozumiem, jak sprawdzenie właściwości macierzy pomoże mi udowodnić równość?
2. Nie wiem, co to iloraz Rayleigh'a.
3. Tak, i tego sprawdzenia nie potrafię wykonać.

[janusz47]

W takim razie zajrzyj do podręcznika z Analizy Numerycznej np.

Dawid Kincaid, Ward Cheney analiza numeryczna. WNT 2006.