Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

[Scrub]

\(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}2&-2\1&-1end{array}
ight]left[egin{array}{ccc}x\yend{array}
ight]=left[egin{array}{ccc}0\0end{array}
ight]}\)

Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego jedynym słusznym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}x\yend{array}
ight]=left[egin{array}{ccc}1\1end{array}
ight]}\)?

Wydaje się, że żadnej filozofii w tym nie ma. Gdybym rozwiązywał to normalnie, wiadomo \(\displaystyle{ x = y}\), ale musimy uzyskać wektor \(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}1\1end{array}
ight]}\) kompletnie nie wiem skąd (problem wzięty z 425442.htm). Przecież ten układ jest prawdziwy, gdy pod \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) podstawimy dowolne takie same liczby...

[adri@n]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right] \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \begin{cases} 2x - 2y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=y \\ y=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} y \\ y \end{array}\right] = y\cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]}\)

[SlotaWoj]

Podanej macierzy odpowiada zależny układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań (w których \(\displaystyle{ x=y}\)) i żadne z nich nie jest lepsze od pozostałych. To, że z tych rozwiązań trzeba jakieś wybrać wynika z problemu, przy okazji którego powstał ten układ równań. Zazwyczaj przyjmuje się, że \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ y=1}\).

[Scrub]

adri@n,
Dlaczego tutaj:
\(\displaystyle{ egin{cases} x=y \ y=y end{cases}}\)
jest \(\displaystyle{ y=y}\)
? To oczywiste, ale dlaczego tak piszemy i co to da? (nie czepiam się, tylko chcę zrozumieć )

@SlotaWoj
Ok, czyli po podstawieniu wartości \(\displaystyle{
eq 1}\) otrzymam prawidłowy wektor własny? Orientujesz się w tym? Bo z tego postu wynika, że nie 425442.htm#p5512294

[SlotaWoj]

Wektor własny przekształcenia to taki, którego obraz jest do niego równoległy (ma ten sam kierunek), więc wszystkie równoległe doń wektory są równoważne.
Kwestia przedstawienia takiego wektora zależy od „estetyki”. Są tacy, którzy uważają, że powinien on mieć długość jednostkową.

[Scrub]

To jeszcze ostatnie pytanie, czy może być tak, że dla tej samej wartości własnej znajdę dwa różne wektory własne? Różne w takim sensie, że na przykład pierwszy to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\ \alpha \end{array}\right]}\) a drugi \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \beta \\1\end{array}\right]}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\) (w przeciwnym wypadku to raczej na pewno było by źle).

Wydaje mi się że tak, ale wolę się upewnić.

[NogaWeza]

Tak, dla przykładu weź sobie macierz jednostkową.

[a4karo]

Albo rzut \(\displaystyle{ \RR^3}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\)

[Scrub]

Albo rzut \(\displaystyle{ \RR^3}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\)

W sumie to nie rozumiem

NogaWeza,
Miałem na myśli przypadek, gdzie nie ma wielokrotnych wartości własnych. Nie wiem czy w przykładzie który podałeś ma to jakieś znaczenie. Dziwny układ równań wychodzi z macierzą jednostkową. Patrząc na układ, jest on zawsze spełniony, ale chyba wiem skąd się biorą akurat te wektory. Kalkulator daje mi dwa wektory własne mimo że jest jedna wartość własna - czy dlatego, że jest podwójna? (tzn pierwiastek wielomianu charakterystycznego jest podwójny).

[SlotaWoj]

To jeszcze ostatnie pytanie, czy może być tak, że dla tej samej wartości własnej znajdę dwa różne wektory własne? Różne w takim sensie, że na przykład pierwszy to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\ \alpha \end{array}\right]}\) a drugi \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \beta \\1\end{array}\right]}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\) ...

i \(\displaystyle{ \alpha\neq0\ \wedge\ \beta\neq0\ \wedge\ \beta=\frac{1}{\alpha}}\) .