Układy rownan liniowych zmienne i parametry macierze

[wikdam98]

Cześć! Proszę o szybką pomoc w trzech zadaniach,gdyz po przeszukaniu wszystkich stron nie znalazłam odpowiedzi.
1. rozwiaz uklad i odpowiedz na ile sposobow , w tym układzie ,mozna podzielic niewiadome na zmienne i parametry?
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-3y+z+t=5\\5x+2y-3z+2t=1\\3x+5y-5z+t=-2\end{cases}}\)

uklad rozwiazalam i mniej wiecej okreslilam ile jest mozliwosci ale nie jestem pewna,bo nie mam odpowiedzi

2. czy istnieje niesprzeczny układ czterech równan liniowych z czterema niewiadomymi,w ktorych roznych podziałow niewiadomych
na zmienne i parametry jest:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5 f)6 g)7
3. ile moze byc roznych podziałow niewiadomych na zmienne i parametry w niesprzecznym ukladzie 7 rownan liniowych z
siedmioma niewiadomymi.

za zadanie 2 i 3 kompletnie nie wiem jak sie zabrac, z góry dziękuje za pomoc;)

[Premislav]

1. Masz układ trzech niesprzecznych równań z czterema niewiadomymi, i jak się zdaje żadnego równania nie można otrzymać z kombinacji dwóch pozostałych (ale to trzeba sprawdzić), więc możliwości wyboru parametru są oczywiście cztery. Np. jeśli t obsadzimy w roli parametru, to układ można przepisać w postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-3y+z=5-t\\5x+2y-3z=1-2t\\3x+5y-5z=-2-t\end{cases}}\)
a dalej zastosować metodę eliminacji Gaussa (ech, ten podstępny Gauss, siedzi w tym układzie jak przyczajony tygrys, trzeba go wyeliminować - dlatego mój wykładowca liniówki pisał "Gaussa metoda eliminacji", co już tak komicznie nie brzmi) lub znaleźć macierz odwrotną do
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}2&-3&1 \\5&2&-3 \\3&5&-5 \end{array}\right)}\)
i nałożyć na wektor \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}5-t\\1-2t\\-2-t\end{array}\right)}\)-- 13 paź 2017, o 13:39 --Jak pokażesz obliczenia, to możemy je sprawdzić, pisanie samej odpowiedzi bez tego, jak się do niej doszło, jest mało dydaktyczne, natomiast pisanie tu wszystkich obliczeń to dla mnie żmudna robota, bo wolno piszę i nie palę się do tego.
A w 2) i 3) nie wiem specjalnie, o co chodzi. Przeczytaj twierdzenie Kroneckera-Capellego, może się przydać. Ogólnie tu jest jakaś zabawa rzędami i odejmowanie. Np. jak masz niesprzeczny układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=e_1 \\ b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4=e_2 \\ c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+c_4x_4=e_3 \\ d_1x_1+d_2x_2+d_3x_3+d_4x_4=e_4\end{cases}}\)
to należałoby popatrzeć na wymiar
\(\displaystyle{ \mathrm{lin}\left( \left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2\\a_3 \\ a_4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2\\b_3 \\ b_4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c_1 \\ c_2\\c_3 \\ c_4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}d_1 \\ d_2\\d_3 \\ d_4\end{array}\right)\right)}\)
tj. do ilu tak naprawdę równań można zredukować ten układ, by żadne z równań nie było krotnością pozostałych. No to jest raczej jasne, że jak masz choćby niesprzeczny układ dwóch "liniowo niezależnych" równań liniowych z trzema niewiadomymi, to masz trzy możliwości wyboru parametru (\(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 1}\)), jak masz niesprzeczny układ dwóch "liniowo niezależnych" (no chodzi o to, by żadne nie dało się otrzymać w postaci kombinacji pozostałych, np. \(\displaystyle{ x+y+z=1, 2x+2y+2z=2, x+y=5}\) nie spełnia tego, bo można pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) pierwsze równanie i otrzymujemy drugie równanie) równań liniowych z czterema niewiadomymi, to masz \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\) możliwości wyobru parametrów itd.

[wikdam98]

Jeśli chodzi o zadanie 1 to zrobiłam to tak ,że podane równania wpisałam w macierz i rozwiazałam metodą gaussa-jordana i ostatecznie wyszło mi tak :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0& \frac{8}{19} & \frac{-1}{19} \\0&1&0& \frac{-1}{19} & \frac{-45}{19} \\0&0&1&0&-2\end{bmatrix}}\)

następnie obliczylam rzad macierzy podstawowej i rozszerzonej i oba wyszły 3 czyli r(A)=r(U)=3 n=4 czyli liczba niewiadomych wiec jest nieskonczenie wielerozwiazan z jednym parametrem

ale jedna niewiadoma z ostatniego rownania wychodzi ze jest rowna -2 czyli z=-2 wiec nie moze (chyba) byc ani parametrem ,wiec mysłam ze sa 3 mozliwosci podziału na zmienne i parametry bo jedna niewiadma jest juz okreslona. A więc zle mysle?

[Premislav]

Po przeliczeniu też mi tak wyszło, ale nie umiem liczyć, więc dla pewności sprawdziłem na wolfram|alpha:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-3y%2Bz%2Bt%3D5,5x%2B2y-3z%2B2t%3D1,3x%2B5y-5z%2Bt%3D-2

- masz dobrze.
Tak, ewidentnie palnąłem bzdurę z tą liczbą podziałów na parametry, przepraszam. No to nie wiem jak zrobić 2) i 3).