Matematyka.pl

czy ktoś na podanym przykładzie może mi wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne podanych macierzy

0 0 1
A 0 1 0
1 0 0

2 -1 2
B 5 -3 -3
-1 0 -2

bo w pierwszym przykładzie wychodzi mi \(\displaystyle{ ω(λ)= -λ^2(1-λ)}\) ale to chyba źle

bardzo proszę o info gdzie popełniam błąd
pozdrawiam
matylda

OK, no to zrobimy te zadania elementarnie
pierwszy przykład:
\(\displaystyle{ A=
\left(\begin{array}{c c c}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)}\)
Najpierw wartości własne:
\(\displaystyle{ \det(A-I\lambda)=\det\left(\left(\begin{array}{c c c}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right) -
\left(\begin{array}{c c c}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{array}\right)\right)=
\begin{array}{|c c c|}
-\lambda & 0 & 1 \\
0 & 1-\lambda & 0 \\
1 & 0 & -\lambda \\
\end{array} = \\ =
-\lambda \begin{array}{|c c|}
1-\lambda & 0 \\
0 & -\lambda
\end{array} + \begin{array}{|c c|}
0 & 1-\lambda \\
1 & 0
\end{array} = \lambda^2(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2-1)=(1-\lambda)^2(\lambda+1)}\)
Zatem mamy wartości własne tej macierzy - jest to \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=1, \ \lambda_3=-1}\)

Aby znaleźć wektor własny rozwiążemy równanie:
\(\displaystyle{ (A-I\lambda)\vec{x}=0}\)

czyli dla \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2}\):
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c c c}
-1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
a \\ b \\ c \\ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
c-a \\ 0 \\ a-c \\
\end{array}\right) \\
\vec{x_1}=\vec{x_2}=\left(\begin{array}{c}
1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right)}\)

dla \(\displaystyle{ \lambda_3}\):
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c c c}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
a \\ b \\ c \\ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
a+c \\ 2b \\ a+c \\
\end{array}\right) \\
\vec{x_3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array}\right)}\)

Dla macierzy \(\displaystyle{ B=\left(\begin{array}{c c c}
2 & -1 & 2 \\
5 & -3 & -3 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{array}\right)}\)
podam Ci wyniki poszczególnych kroków.

1. \(\displaystyle{ \det(B-I\lambda)=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-7}\)
Hmm... nieciekawe równanie - na pewno dobrą podałaś macierz?