Macierz przejścia od bazy B1 do bazy B

[Filip1234]

Zadanie. Dane są dwie bazy uporządkowane przestrzeni \(\displaystyle{ W_{2}(\RR)}\)

\(\displaystyle{ B_{0} = (1,t, t^{2}), B_{1} = (-1, (t-1)^{2}, 2t-1).}\)

a) Wyznacz macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ B_{1}}\) do bazy \(\displaystyle{ B_{0}.}\)
b) Współrzędne wektora w bazie \(\displaystyle{ B_{0}}\) to \(\displaystyle{ -1, 0, 1.}\) Wyznaczyć współrzędne wektora w bazie \(\displaystyle{ B_{1}.}\)

Jak to rozwiązać, bo mam wzory na wyznaczanie macierzy \(\displaystyle{ B}\) przekształcenia w bazach: \(\displaystyle{ B= Q^{-1} \cdot A \cdot P}\) lub\(\displaystyle{ B= P^{-1} \cdot A \cdot P}\)
I jeśli dobrze myślę o tych wzorach to nie wiem, którą bazę brać jako co, \(\displaystyle{ Q, A}\) czy \(\displaystyle{ P.}\)

[Premislav]

a) Można napisać macierz przejścia z \(\displaystyle{ B_0}\) do \(\displaystyle{ B_1}\), co jest proste, a następnie ją odwrócić (np. metodą z operacjami na sąsiedniej macierzy identyczności lub metodą z macierzą dopełnień).
Macierz przejścia z \(\displaystyle{ B_0}\) do \(\displaystyle{ B_1}\) i tak się przyda w podpunkcie b). Mnie wyszła taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}-1& \ 1&-1 \\ \ 0&-2& \ 2\\ \ 0& \ 1& \ 0\end{matrix}\right]}\)
Odwracać mi się jej nie chce, ale to nie jest trudne, tylko rachunkowe.-- 25 wrz 2017, o 01:05 --Dobra, a jak tak nie chcesz, to będzie coś tam takiego, zdaje się:
\(\displaystyle{ 1=-1\cdot (-1)+0\cdot (t-1)^2+0\cdot (2t-1)\\t=-\frac 1 2\cdot (-1)+0\cdot (t-1)^2+\frac 1 2\cdot (2t-1)\\t^2=0\cdot(-1)+1\cdot(t-1)^2+1\cdot (2t-1)}\)

i z tego wywnioskuj postać macierzy przejścia z \(\displaystyle{ B_1}\) do \(\displaystyle{ B_0}\)…


Ale tak czy inaczej żeby rozwiązać oba podpunkty, łącznie trzeba znaleźć dwie macierze (chyba że o czymś nie wiem, jest możliwe).