Sprawdzanie czy B jest bazą przestrzeni i podprzestrzeń

[kaluza88]

Mam dwa zadania, które nie mam pojęcia jak zrobić:
1. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) będzie przekształceniem liniowym takim że,

\(\displaystyle{ f(v_{1})=v_{1}-2v_{2}, f(v_{2})=v_{1}+4v_{3}, f(v_{3})=v_{2}+v_{3}}\) ,gdzie:

\(\displaystyle{ v_{1}=\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
,v_{2}=\begin{bmatrix}
0\\
1\\
1
\end{bmatrix}
,v_{3}=\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}}\)

a) Wykazać, że \(\displaystyle{ B=(v_{1},v_{2},v_{3})}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) i wyznaczyć macierz przekszstałcenia \(\displaystyle{ f}\) w tej bazie.
b)Wyznaczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie kanonicznej.
c)Sprawdzić czy \(\displaystyle{ f}\) jest iniekcją, surjekcją i bijekcją.

2.Niech \(\displaystyle{ X\subset W_{2}(\mathbb{R})}\) będzie podprzestrzenią liniową określoną warunkiem:

\(\displaystyle{ X=(\varphi \in W_{2}(\mathbb{R})):\varphi (1)=0)}\)

a)Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni X
b)Przedstawić wielomian \(\displaystyle{ \varphi (t)=t^{2}-2t+3}\) jako kombinację liniową wektorów bazy wyznaczonej w punkcie a).

[janusz47]

1.
a) Zgodnie z definicją bazy, co musimy sprawdzić, aby układ trzech wektorów \(\displaystyle{ v_{i}\in \set B \subset \set{R^3},\ \ i=1,2,3}\) był bazą?

[Igor V]

Oh boy ...

1. a) Sprawdź czy są liniowo niezależne i czy generują całą przestrzeń
Co do macierzy przekształcenia liniowego : wkładasz wektory bazowe w przekształcenie a to co wyjdzie zapisujesz jako kombinację liniową wektorów bazowych z drugiej przestrzeni. Współczynniki skalarne z tych kombinacji są elementami macierzy. Więc zobacz że właściwie to już masz te współczynniki gotowe.
b) znajdź wzór przekształcenia liniowego (przyda się od razu w c)) :
\(\displaystyle{ f\left([x, y, z]^T\right) = x \cdot f\left([1, 0, 0]^T\right) + y \cdot f\left([0, 1, 0]^T\right) + z \cdot f\left([0, 0, 1]^T\right)}\)
Wyraź wektory \(\displaystyle{ [1, 0, 0]^T, [0, 1, 0]^T, [0, 0, 1]^T}\) jako kombinacje liniowe \(\displaystyle{ [1, 0, 1]^T, [0, 1, 1]^T, [1, 0, 0]^T}\) dzięki czemu będziesz mógł skorzystać z informacji podanej w zadaniu. A dalej jak wyżej z macierzą.

c) różnowartościowość - weź dwa różne wektory \(\displaystyle{ a = [x_1, y_1, z_1] ^{T}, b = [x_2, y_2, z_2] ^{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \RR^3}\) i sprawdź czy może być \(\displaystyle{ f(a) = f(b)}\)
"na" - sprawdź czy dla każdego \(\displaystyle{ v \in \RR^3}\) istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie że \(\displaystyle{ f(x) = v}\)

2. a) \(\displaystyle{ \varphi(t) = at^2 + bt + c}\)
\(\displaystyle{ \varphi(1) = 0 \Rightarrow a + b + c = 0}\)
\(\displaystyle{ \varphi(t) = at^2 + bt - a - b = a(t^2 - 1) + b(t - 1)}\)
Wektory \(\displaystyle{ t^2 - 1, t - 1}\) są liniowo niezależne i generują całą podaną podprzestrzeń więc są bazą.
b) myślę że już nie będzie problemu

[a4karo]

Igor V,

b) myślę że już nie będzie problemu

Myślę, że jednak będzie problem. Ta funkcja nie leży w \(\displaystyle{ X}\)

[Igor V]

a4karo, faktycznie. Najwidoczniej nie umiem dodawać. Dzięki za zwrócenie uwagi.