Abstract state space

[rego]

Witam Forumowiczow,

na przedmiocie Security Engineering dostalem nastepujace zadanie do rozwiazania. Mialby ktos Pomysl jak je rozwiazac, albo na poczatek wskazowki? Mam nadzieje, że ono pasuje do działu Algebry.

Rozważmy zbiór wektorów w \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{3}}\):

\(\displaystyle{ V= \left\{
\left( \begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right),
\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right),
\left( \begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right),
\ldots
\right\}}\)

stanem nayzwamy element \(\displaystyle{ V}\). Funkcją przejścia stanu nazywamy funkcję, która przekształca stan w inny stan. Przykładem funkcji stanu jest funkcja, dla \(\displaystyle{ s\in V}\):

\(\displaystyle{ g \left( s \right) =As+B, \quad A= \left( \begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right),
\quad A=\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right)}\)

Programem nazywamy parę \(\displaystyle{ p= \left( f,\sigma_{0} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ f: V \longrightarrow V}\) jest funkcją przekształcenia stanu, a \(\displaystyle{ \sigma_{0}\in V}\) jest stanem początkowym. Przestrzenią stanu programu \(\displaystyle{ p}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \mathb{S} \left( p \right)}\) zdefiniowany indukcyjnie jako:

\(\displaystyle{ \sigma_{0}\in \mathb{S} \left( p \right)}\)

\(\displaystyle{ \sigma\in \mathb{S} \left( p \right) \wedge \sigma' = f \left( \sigma \right) \implies \sigma' \in \mathb{S} \left( p \right)}\)

1. Udowodnij, że przestrzeń stanu programu \(\displaystyle{ q = \left( g, \sigma_{0} \right)}\), dla każdego \(\displaystyle{ \sigma_{0} \in V}\) jest zbiorem skończonym. Ile stanów należy do przestrzeni stanów programu \(\displaystyle{ q}\).

2. Zdefiniuj funkcję przekształcenia stanu \(\displaystyle{ h}\), gdzie przestrzeń stau programu \(\displaystyle{ \left( h, \sigma_{0} \right)}\) jest nieskończona, dla każdego \(\displaystyle{ \sigma_{0} \in V}\).

Z góry dziękuję za Waszą pomoc,
rego

[octahedron]

Nie mam jasności, jak wygląda \(\displaystyle{ V}\). Czy np. następny jest wektor \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\) czy \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\) ?

[rego]

octahedron,

hm, dostałem tak sformułowane polecenie na zajęciach. Mnie się wydaje, że porządek w tym zbiorze nie jest ważny. Oba wymienione przez Ciebie wektory należą do \(\displaystyle{ V}\).

[octahedron]

Nie chodzi o porządek, tylko o to, które wektory \(\displaystyle{ \mathbb{N}^3}\) tworzą \(\displaystyle{ V}\), bo z tego zapisu nie wiadomo.

\(\displaystyle{ 1)\\
V\ni \sigma_0=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\\
\sigma_1=f(\sigma_0)=\begin{pmatrix}1\\v_1\\v_2\end{pmatrix}\\
\sigma_2=f(\sigma_1)=\begin{pmatrix}1\\1\\v_1\end{pmatrix}\\
\sigma_3=f(\sigma_2)=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\
f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\\\
S(q)=\left\{\sigma_0,\sigma_1,...,\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\\\\
2)\\
g=\begin{pmatrix}0&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{pmatrix}s+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\)

[rego]

Dzięki za Twoją wskazówkę. Niestety dalej nie wiem dlaczego ten zbiór \(\displaystyle{ S(q)}\) jest skończony. Ma ktoś może pomysł jak to udowodnić?

Dziękuję i pozdrawiam.

[octahedron]

Bo od jakiego \(\displaystyle{ \sigma_0}\) byśmy nie zaczęli, dojdziemy do \(\displaystyle{ \sigma_n=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\), a dalej dostajemy już w kółko to samo \(\displaystyle{ \sigma_n}\)