Oszacowanie minimalnej wartości własnej macierzy hermitowski

[bw07]

Mam problem z wykazaniem, że najmniejsza wartość własna iloczynu macierzy \(\displaystyle{ A^TBB^TA}\) jest mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 1}\), przy czym macierz \(\displaystyle{ A=[a_1...a_n]}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) jest ortonormalną bazą \(\displaystyle{ n}\) -wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni \(\displaystyle{ m}\)-wymiarowej i analogicznie \(\displaystyle{ B=[b_1 ... b_k]}\) składa się z bazy \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowej podprzestrzeni tej samej przestrzeni. Wydaje mi się, że częściowo ten problem można rozwiązać korzystając z tego, że minimalna wartość własna macierzy hermitowskiej nie może być większa niż najmniejszy element głównej przekątnej, ale nie mam pomysłu na to, jak można pokazać, że najmniejszy element głównej przekątnej macierzy \(\displaystyle{ A^TBB^TA}\) jest nie większy niż \(\displaystyle{ 1}\).

[jutrvy]

Jeśli \(\displaystyle{ B}\) jest macierzą ortogonalną, to przecież \(\displaystyle{ BB^T = Id}\), tak samo z \(\displaystyle{ A}\), więc... Jak to zrobić?

A, ok, to nie są macierze kwadratowe, wybacz. Ale wciąż, wyrazami \(\displaystyle{ BB^T}\) będą iloczyny skalarne dopowiednich wierszy i kolumn macierzy \(\displaystyle{ B}\), więc i tak wyjdzie tam identyczność.

[bw07]

Dziękuję za podpowiedź, ale to chyba \(\displaystyle{ B^TB}\) jest macierzą jednostkową? Bo tylko wtedy w wyniku mamy iloczyny skalarne odpowiednich wektorów bazowych.

[jutrvy]

Tak, tak - masz rację.