Niech \(\displaystyle{ V = P_{3}(\mathbb{R})}\) i niech \(\displaystyle{ Aˆ \in L(V)}\) zadany będzie wzorem
\(\displaystyle{ Aˆp(x) = 3 x^{2}p''(x)-(x+1)p'(x)+2p}\)
Jak wyznaczyć macierz operatora \(\displaystyle{ Aˆ}\) w bazie \(\displaystyle{ {1,x, x^{2},x ^{3}}\) oraz jego jądro i obraz?
Jądro i obraz
-
Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Re: Jądro i obraz
Macierz przekształcenia liniowego :
- liczysz po kolei \(\displaystyle{ \hat{A}p(1), \hat{A}p(x), \hat{A}p(x^2), \hat{A}p(x^3)}\)
- każde z tak otrzymanych przekształceń zapisujesz jako kombinację liniowa wektorów \(\displaystyle{ 1,x, x^{2},x ^{3}}\) (domyślnie ta sama baza)
- współczynniki skalarne każdego z tych przekształceń stanowią kolejne kolumny w macierzy
\(\displaystyle{ \ker\left(\hat{A}\right) = \{\vec{v} \in P_{3}(\mathbb{R}) \ : \ \hat{A}(\vec{v}) = 0\}}\)
Rozwiązujesz układ równań (albo upraszczasz sobie korzystają z operacji nie zmieniających jądra, np: wierszowych), sprawdzasz liniową niezależność jak chcesz wyznaczyć bazę.
\(\displaystyle{ \Im\left(\hat{A}\right) = \{\hat{A}(\vec{v}) \ : \ \vec{v} \in P_{3}(\mathbb{R}) \}}\)
Jak dasz jako \(\displaystyle{ \vec{v}}\) wektory bazowe i zapiszesz współczynniki z kombinacji liniowych , to otrzymujesz policzoną macierz i całą generowaną przestrzeń. Musisz sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne, jak nie to coś wywalasz i ustalasz bazę \(\displaystyle{ \Im\left(\hat{A}\right)}\)
- liczysz po kolei \(\displaystyle{ \hat{A}p(1), \hat{A}p(x), \hat{A}p(x^2), \hat{A}p(x^3)}\)
- każde z tak otrzymanych przekształceń zapisujesz jako kombinację liniowa wektorów \(\displaystyle{ 1,x, x^{2},x ^{3}}\) (domyślnie ta sama baza)
- współczynniki skalarne każdego z tych przekształceń stanowią kolejne kolumny w macierzy
\(\displaystyle{ \ker\left(\hat{A}\right) = \{\vec{v} \in P_{3}(\mathbb{R}) \ : \ \hat{A}(\vec{v}) = 0\}}\)
Rozwiązujesz układ równań (albo upraszczasz sobie korzystają z operacji nie zmieniających jądra, np: wierszowych), sprawdzasz liniową niezależność jak chcesz wyznaczyć bazę.
\(\displaystyle{ \Im\left(\hat{A}\right) = \{\hat{A}(\vec{v}) \ : \ \vec{v} \in P_{3}(\mathbb{R}) \}}\)
Jak dasz jako \(\displaystyle{ \vec{v}}\) wektory bazowe i zapiszesz współczynniki z kombinacji liniowych , to otrzymujesz policzoną macierz i całą generowaną przestrzeń. Musisz sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne, jak nie to coś wywalasz i ustalasz bazę \(\displaystyle{ \Im\left(\hat{A}\right)}\)