Równanie macierzowe

[Chrisline]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ B^{-1} \times A^{T}=macierz}\) Wyznaczyć taki X, by spełniał on równanie:

\(\displaystyle{ A^{T} \times X \times B^{-1} = 2I}\)


Prosiłbym o sprawdzenie, gdyż nie jestem pewny czy dwójkę można wyciągnąć zaraz za znakiem równości, tak by nie stała przy I.

\(\displaystyle{ [A^{T} \times (X \times B^{-1})] ^{T}=2 I^{T}}\)
\(\displaystyle{ (B^{-1}) ^{T} \times X^{T} =2 I^{T} \times A^{-1}}\)
Następnie znowu transponowałem:
\(\displaystyle{ X \times B^{-1}=2 (A^{-1}) ^{T} \times I}\)
A przemnożona przez macierz jednostkową jest równa A, a \(\displaystyle{ B^{-1}}\) przerzuciłem na prawą stronę. Również kolejność "potęgowania" macierzy A zmieniłem:
\(\displaystyle{ X=2 (A^{T}) ^{-1} \times B}\)
Wszystko do -1
\(\displaystyle{ X ^{-1}= \frac{1}{2} B^{-1} \times A^{T}}\)

Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam

[kerajs]

\(\displaystyle{ X=2 (A^{T}) ^{-1} \times B}\)

to, jak i:
\(\displaystyle{ X=2 (A^{-1}) ^{T} B}\)
jest szukaną macierzą X.

[Chrisline]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ B^{-1} \times A^{T}=macierz}\)

Czyli ostateczny wynik, tak by użyć to co wiemy z polecenia to:

\(\displaystyle{ X=2(B^{-1} \cdot A^{T}) ^{-1}}\)

Zgadza się? Pozdrawiam.

[kerajs]

Wskazany fragment to informacja, że takie mnożenie macierzy jest możliwe. Jest ona zbędna, gdyż macierz jednostkowa jest zawsze macierzą kwadratową, więc z istnienia pierwszego równania :
\(\displaystyle{ A^{T}_{k,a} \times X_{a,b} \times B^{-1} _{b,k}=2I _{k,k}}\)
wynika, że mnożenie:
\(\displaystyle{ B^{-1} _{b,k} \times A^{T}_{k,a}}\)
jest możliwe.

Każdy z tych wyników jest poprawny. Wybierz ten który ma najprostszą postać.