odwzorowania liniowe ciągłe

[natmal7856]

Hej,

proszę o pomoc w uzasadnieniu, że wszystkie odwzorowania liniowe z \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{m}}\) są ciągłe.

[szw1710]

Wystarczy tylko pokazać ciągłość w zerze. Powołaj się na postać odwzorowania liniowego w sytuacji, jaką opisujesz. Są na nie konkretne wzory. Tę ciągłość łatwo wobec nich wykazać.

[Spektralny]

Z algebry liniowej wiemy, że każde takie przekształcenie liniowe jest postaci

• \(\displaystyle{ T(x_1,\ldots, x_n) = A\left[ \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right] =
  \left[ \begin{array}{c}\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j \\ \vdots \\\sum_{j=1}^n a_{mj}x_j\end{array}\right]}\)

gdzie \(\displaystyle{ A=[a_{ij}]}\) jest macierzą \(\displaystyle{ m\times n}\). Zakładam, że używasz normy euklidesowej i nie znasz twierdzenia o równoważności norm w przestrzeniach skończenie wymiarowych.

W tym przypadku, gdy \(\displaystyle{ x_1^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant 1}\) (tj. \(\displaystyle{ \|(x_1, \ldots, x_n)\|\leqslant 1}\)) dla dowolnych \(\displaystyle{ c_1, \ldots, c_n}\) mamy z nierówności Cauchy'ego-Schwarza

• \(\displaystyle{ |c_1x_1 +\ldots +c_nx_n| \leqslant \|(c_1, \ldots c_n)\|\cdot \|(x_1, \ldots x_n)\| \leqslant \|(c_1, \ldots c_n)\|}\).

Oznacza to, że gdy \(\displaystyle{ x_1^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant 1}\) norma \(\displaystyle{ T(x_1, \ldots, x_n)}\) szacuje się przez

• \(\displaystyle{ \|\left[ \begin{array}{c}\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j \\ \vdots \\\sum_{j=1}^n a_{mj}x_j\end{array}\right]\right] \|\leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^m \|(a_{i1}, \ldots, a_{in})\|^2} < \infty.}\)

Wykazaliśmy więc, że odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) jest ograniczone, co łatwo implikuje ciągłość.