Niech \(\displaystyle{ V = ( R _{4} , \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle )}\) będzie przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \left\langle f,g\right\rangle = \int_{-1}^{1} f\left( x\right)g\left( x\right) \mbox{d}x}\) . Znajdź bazę ortogonalną podprzestrzeni tych wielomianów należących do \(\displaystyle{ V}\), które mają niezerowe współczynniki tylko przy potęgach parzystych. Następnie uzupełnij ją do bazy ortogonalnej całej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
Zbiór wielomianów z \(\displaystyle{ V}\), o które chodzi w zadaniu oznaczyłam tak: \(\displaystyle{ \left\{ ax ^{4} + bx ^{2} + c : a, b, c \in \RR \right\}}\) . Nie wiem jednak jak ma wyglądać baza tej podprzestrzeni, tzn. nie wiem jak to zapisywać, jak mają wyglądać te wektory w bazie, jeśli tutaj mówimy o wielomianach, i skąd wziąć tę bazę?
Znaleźć bazę ortogonalną
Znaleźć bazę ortogonalną
Ostatnio zmieniony 29 sie 2017, o 14:42 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Znaleźć bazę ortogonalną
Ja mam dwa pomysły.
1) Przyjąć bazę składającą się z \(\displaystyle{ 1 , x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x^4}\) (bo one są na pewno niezależne - wiesz dlaczego?) i zastosować procedurę Grama-Schmidta.
2) Na początek przyjąć \(\displaystyle{ c=1}\) i przyjąć ten wektor jako pierwszy wektor szukanej bazy. Następny wektor niech ma zatem postać \(\displaystyle{ bx^2 + c}\), warunkiem ortogonalności jest zerowanie się iloczynu skalarnego, zatem trzeba wyznaczyć takie \(\displaystyle{ b i c}\) (wyjdzie jakaś prosta zależność między tymi parametrami i trzeba sobie jakieś konkretne wartości wybrać), a potem to samo powtórzyć z wektorem postaci \(\displaystyle{ ax^4 + bx^2 + c}\). Chodzi o to, aby wyjść od jednego ustalonego wektora i rekurencyjnie, wyliczając iloczyny skalarne, dobierać kolejne wektory kierując się kryterium ortogonalności.
Oczywiście ortogonalność wektorów implikuje ich liniową niezależność, stąd znajdując pożądaną ilość ortogonalnych wektorów mamy pewność, że jest to baza.
1) Przyjąć bazę składającą się z \(\displaystyle{ 1 , x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x^4}\) (bo one są na pewno niezależne - wiesz dlaczego?) i zastosować procedurę Grama-Schmidta.
2) Na początek przyjąć \(\displaystyle{ c=1}\) i przyjąć ten wektor jako pierwszy wektor szukanej bazy. Następny wektor niech ma zatem postać \(\displaystyle{ bx^2 + c}\), warunkiem ortogonalności jest zerowanie się iloczynu skalarnego, zatem trzeba wyznaczyć takie \(\displaystyle{ b i c}\) (wyjdzie jakaś prosta zależność między tymi parametrami i trzeba sobie jakieś konkretne wartości wybrać), a potem to samo powtórzyć z wektorem postaci \(\displaystyle{ ax^4 + bx^2 + c}\). Chodzi o to, aby wyjść od jednego ustalonego wektora i rekurencyjnie, wyliczając iloczyny skalarne, dobierać kolejne wektory kierując się kryterium ortogonalności.
Oczywiście ortogonalność wektorów implikuje ich liniową niezależność, stąd znajdując pożądaną ilość ortogonalnych wektorów mamy pewność, że jest to baza.