Znaleźć bazę ortogonalną

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
FoxMulder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 sie 2017, o 13:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć bazę ortogonalną

Post autor: FoxMulder »

Niech \(\displaystyle{ V = ( R _{4} , \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle )}\) będzie przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \left\langle f,g\right\rangle = \int_{-1}^{1} f\left( x\right)g\left( x\right) \mbox{d}x}\) . Znajdź bazę ortogonalną podprzestrzeni tych wielomianów należących do \(\displaystyle{ V}\), które mają niezerowe współczynniki tylko przy potęgach parzystych. Następnie uzupełnij ją do bazy ortogonalnej całej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).


Zbiór wielomianów z \(\displaystyle{ V}\), o które chodzi w zadaniu oznaczyłam tak: \(\displaystyle{ \left\{ ax ^{4} + bx ^{2} + c : a, b, c \in \RR \right\}}\) . Nie wiem jednak jak ma wyglądać baza tej podprzestrzeni, tzn. nie wiem jak to zapisywać, jak mają wyglądać te wektory w bazie, jeśli tutaj mówimy o wielomianach, i skąd wziąć tę bazę?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2017, o 14:42 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Znaleźć bazę ortogonalną

Post autor: NogaWeza »

Ja mam dwa pomysły.

1) Przyjąć bazę składającą się z \(\displaystyle{ 1 , x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x^4}\) (bo one są na pewno niezależne - wiesz dlaczego?) i zastosować procedurę Grama-Schmidta.

2) Na początek przyjąć \(\displaystyle{ c=1}\) i przyjąć ten wektor jako pierwszy wektor szukanej bazy. Następny wektor niech ma zatem postać \(\displaystyle{ bx^2 + c}\), warunkiem ortogonalności jest zerowanie się iloczynu skalarnego, zatem trzeba wyznaczyć takie \(\displaystyle{ b i c}\) (wyjdzie jakaś prosta zależność między tymi parametrami i trzeba sobie jakieś konkretne wartości wybrać), a potem to samo powtórzyć z wektorem postaci \(\displaystyle{ ax^4 + bx^2 + c}\). Chodzi o to, aby wyjść od jednego ustalonego wektora i rekurencyjnie, wyliczając iloczyny skalarne, dobierać kolejne wektory kierując się kryterium ortogonalności.

Oczywiście ortogonalność wektorów implikuje ich liniową niezależność, stąd znajdując pożądaną ilość ortogonalnych wektorów mamy pewność, że jest to baza.
ODPOWIEDZ