Dowolny punkt jako kombinacja dwóch punktów,dowód twierdzeni

[Hubkor]

Jest twierdzenie.
Dowolny punkt leżący na odcinku łączącym dwa punkty w przestrzeni \(\displaystyle{ \phi_n}\) może być wyrażony jako kombinacja wypukła tych dwóch punktów.

I dowód.
Oznaczmy dwa punkty przez \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) i niech \(\displaystyle{ W}\) leży na odcinku łączącym \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\). Odcinek ten jest równoległy do prostej określonej wektorem \(\displaystyle{ U-V}\). Według praw dodawania wektorów dla \(\displaystyle{ \lambda \in [0,1]}\) mamy:
\(\displaystyle{ V+\lambda(U-V)=W}\) lub \(\displaystyle{ (1-\lambda)V+\lambdaU=W}\).
Widzimy, że \(\displaystyle{ W}\) jest kombinacją wypukłą \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\).

A moje pytanie dlaczego odcinek łączący \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest równoległy do prostej określonej wektorem \(\displaystyle{ U-V}\)?

[janusz47]

Jeśli narysujemy dowolną prostą \(\displaystyle{ p}\) z punktami \(\displaystyle{ U, V}\) i punktem \(\displaystyle{ W\in [U,V]}\) to przekonamy się, że \(\displaystyle{ [U,V] \parallel (U-V) \in p.}\)