Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy.

[deyna18]

Witam
Mam wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-8\\1&7\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&-8\\1&7-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)(7-\lambda)-(-8)=\lambda^2+8\lambda+15}\)

\(\displaystyle{ /delta=4}\)
\(\displaystyle{ \lambda1= \frac{-8- \sqrt{4} }{2} = -5}\)
\(\displaystyle{ \lambda2= \frac{-8+ \sqrt{4} }{2}=-3}\)

odp.1 Wartości własne macierzy to:
\(\displaystyle{ \lambda1=-5}\)
\(\displaystyle{ \lambda2=-3}\)


Teraz wektory własne:

dla \(\displaystyle{ \lambda1=-5}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-(-5)&-8\\1&7-(-5)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6&-8\\1&12\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&-8\\1&12\end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

Teraz wychodzi mi taki układ równań.
Jak go rozwiązać?

\(\displaystyle{ \left\{ 6x-8y=0}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1x+12y=0}}\)

Czy \(\displaystyle{ 6x=8y/6}\)
to \(\displaystyle{ x= \frac{4}{3}y}\) ??

[Janusz Tracz]

Nie do końca poprawnie to policzyłeś. Równanie charakterystycznie to

\(\displaystyle{ \det\begin{bmatrix}1-\lambda & -8 \\1 & 7-\lambda \end{bmatrix}=(1-\lambda)(7-\lambda)+8=0}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \lambda^2-8\lambda+15=0}\)

Dlatego

\(\displaystyle{ \lambda_1=3}\)

\(\displaystyle{ \lambda_2=5}\)

Dalej sobie poradzisz bo sposób rozumowania jest ok.

[deyna18]

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&-8\\1&4\end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ -2x-8y=0}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1x+4y=0}}\)

to z pierwszego równania:

\(\displaystyle{ -2x-8y=0}\)
\(\displaystyle{ -2x=8y/(-2)}\)
\(\displaystyle{ x=-4y}\)

dla drugiego:

\(\displaystyle{ 1x+4y=0}\)
\(\displaystyle{ x=4y}\)

Czyli dla \(\displaystyle{ \lambda1}\) odpowiedź będzie: Zbiór wektorów własnych to:\(\displaystyle{ -4y}\) i \(\displaystyle{ 4y}\) dla \(\displaystyle{ y}\) różnego od \(\displaystyle{ 0}\) ??

[Janusz Tracz]

Dla \(\displaystyle{ \lambda_1=3}\) układem rzeczywiście jest

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&-8\\1&4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases}-2x-8y=0\\ x+4y=0 \end{cases}}\)

Łatwo zauważyć że tak naprawdę mamy tylko jedno równanie bo równanie pierwsze pomnożone przez \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) dało by równie \(\displaystyle{ 2}\). Dlatego rozpatrujemy tylko

\(\displaystyle{ x+4y=0}\)

Przyjmując partykularyzację \(\displaystyle{ x=4t}\) dostajemy że \(\displaystyle{ y=-t}\)
Dlatego zbiorem wektorów własnych jest

\(\displaystyle{ \left\{\begin{bmatrix} 4t\\- t \end{bmatrix} : t\in\mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \right\}}\)