Odwracalność macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Odwracalność macierzy
Hej,
mam ciekawą hipotezę którą nie wiem jak ugryźć
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ m \times n}\) gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\).
Wtedy macierz\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) ma zawsze niezerowy wyznacznik.
Proszę o podpowiedź, albo kontrprzykład.
mam ciekawą hipotezę którą nie wiem jak ugryźć
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ m \times n}\) gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\).
Wtedy macierz\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) ma zawsze niezerowy wyznacznik.
Proszę o podpowiedź, albo kontrprzykład.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Odwracalność macierzy
Jeśli rozpatrywać by przypadek szczególny że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ n \times n}\) to jest to prawda.
Dowód
Dowód
Ukryta treść:
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Odwracalność macierzy
Mamy \(\displaystyle{ v^T A^T A v = <Av,Av>}\) co jest wieksze niz zero bo A jest monomorfizmem. Zatem macierz \(\displaystyle{ A^T A}\) jest dodatnio okreslona, a zatem odwracalna.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Odwracalność macierzy
W ogólności też to jest prawda, jeśli dobrze pamiętam. Chciałem poszukać związku na przykład z twierdzeniem spektralnym czy teorią Jordana, bo \(\displaystyle{ A^T A}\) jest symetryczne, ale przecież \(\displaystyle{ 0}\) ciągle może być wartością własną, więc chyba nie tędy droga.
Wygrzebałem coś takiego.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Z odwzorowaniami liniowymi \(\displaystyle{ A : V \rightarrow W}\), gdzie \(\displaystyle{ \dim V = n, \dim W= m}\) można skojarzyć macierze wymiaru \(\displaystyle{ m \times n}\) (izomorfizm, bla bla bla)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Rząd odwzorowania (ściślej - rząd obrazu tego odwzorowania) to jest rząd macierzy tego odwzorowania, czyli \(\displaystyle{ \mbox{rank} A = \dim im A}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Twierdzenie o rzędzie: \(\displaystyle{ \dim V = \dim im A + \dim ker A = \mbox{rank} A + \dim ker A}\), u nas \(\displaystyle{ V}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n}\), a o macierzy \(\displaystyle{ A}\) wiadomo, że jest pełnego rzędu, czyli ten rząd to też \(\displaystyle{ n}\). Wobec tego jądro jest trywialne, czyli jego wymiar jest zerowy (tj. jądro zawiera tylko wektor zerowy).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wiadomo, że \(\displaystyle{ A^T A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ m \times m}\). Macierz kwadratowa jest odwracalna (czyli ma niezerowy wyznacznik) tylko, gdy jej rząd jest równy jej wymiarowi, w tym przypadku \(\displaystyle{ m}\). W przypadku macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\) z twierdzenia o rzędzie: \(\displaystyle{ m = \mbox{rank} (A^T A) + \dim ker ( A^T A)}\). Żeby pokazać, że rząd \(\displaystyle{ A^T A}\) jest rzeczywiście \(\displaystyle{ m}\) można pokazać równoważnie, że jądro \(\displaystyle{ A^T A}\) jest trywialne.
O, to w poście wyżej jest fajne, sto razy zwięźlejsze niż te moje wypociny, tylko coś tam pasowałoby wiedzieć o formach kwadratowych i ich określoności.
Wygrzebałem coś takiego.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Z odwzorowaniami liniowymi \(\displaystyle{ A : V \rightarrow W}\), gdzie \(\displaystyle{ \dim V = n, \dim W= m}\) można skojarzyć macierze wymiaru \(\displaystyle{ m \times n}\) (izomorfizm, bla bla bla)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Rząd odwzorowania (ściślej - rząd obrazu tego odwzorowania) to jest rząd macierzy tego odwzorowania, czyli \(\displaystyle{ \mbox{rank} A = \dim im A}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Twierdzenie o rzędzie: \(\displaystyle{ \dim V = \dim im A + \dim ker A = \mbox{rank} A + \dim ker A}\), u nas \(\displaystyle{ V}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n}\), a o macierzy \(\displaystyle{ A}\) wiadomo, że jest pełnego rzędu, czyli ten rząd to też \(\displaystyle{ n}\). Wobec tego jądro jest trywialne, czyli jego wymiar jest zerowy (tj. jądro zawiera tylko wektor zerowy).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wiadomo, że \(\displaystyle{ A^T A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ m \times m}\). Macierz kwadratowa jest odwracalna (czyli ma niezerowy wyznacznik) tylko, gdy jej rząd jest równy jej wymiarowi, w tym przypadku \(\displaystyle{ m}\). W przypadku macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\) z twierdzenia o rzędzie: \(\displaystyle{ m = \mbox{rank} (A^T A) + \dim ker ( A^T A)}\). Żeby pokazać, że rząd \(\displaystyle{ A^T A}\) jest rzeczywiście \(\displaystyle{ m}\) można pokazać równoważnie, że jądro \(\displaystyle{ A^T A}\) jest trywialne.
Ukryta treść:
O, to w poście wyżej jest fajne, sto razy zwięźlejsze niż te moje wypociny, tylko coś tam pasowałoby wiedzieć o formach kwadratowych i ich określoności.
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Re: Odwracalność macierzy
Mała poprawka do postu wyżej
\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\)
a zachodzi może ogólniejsze twierdzenie?
Mianowicie, jeżeli A jest macierzą \(\displaystyle{ m \times n}\), gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\) i ma rząd \(\displaystyle{ r}\) to macierz \(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) też ma rząd \(\displaystyle{ r}\) ?
\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\)
a zachodzi może ogólniejsze twierdzenie?
Mianowicie, jeżeli A jest macierzą \(\displaystyle{ m \times n}\), gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\) i ma rząd \(\displaystyle{ r}\) to macierz \(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) też ma rząd \(\displaystyle{ r}\) ?
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Odwracalność macierzy
No rzeczywiście, przez chwilę wydawało mi się, że chodzi o \(\displaystyle{ A A^T}\), tak czy siak rozumowanie z iloczynem skalarnym pozostaje w mocy.
Na wiki masz sporo własności rzędu macierzy:
1)
2)
Z przedostatniej własności z angielskiej wiki wynika, że istotnie tak jest. Żeby to pokazać można pewnie zmodyfikować lekko to rozumowanie, które przytoczyłem, tj. pokazać, że wymiary jąder są takie same, jakkolwiek niefortunnie by to nie brzmiało
Na wiki masz sporo własności rzędu macierzy:
1)
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Rz%C4%85d_macierzy#Podstawowe_w.C5.82asno.C5.9Bci
2)
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29#Properties
Z przedostatniej własności z angielskiej wiki wynika, że istotnie tak jest. Żeby to pokazać można pewnie zmodyfikować lekko to rozumowanie, które przytoczyłem, tj. pokazać, że wymiary jąder są takie same, jakkolwiek niefortunnie by to nie brzmiało