Odwracalność macierzy

[Matiks21]

Hej,
mam ciekawą hipotezę którą nie wiem jak ugryźć


Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ m \times n}\) gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\).
Wtedy macierz\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) ma zawsze niezerowy wyznacznik.

Proszę o podpowiedź, albo kontrprzykład.

[Janusz Tracz]

Jeśli rozpatrywać by przypadek szczególny że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ n \times n}\) to jest to prawda.

Dowód

Ukryta treść:    

ponieważ informacja o pełnym rzędzie to \(\displaystyle{ \left( \text{rank}A=n \right) \Rightarrow \left( \det A \neq 0\right)}\)
A transponowanie nie zmienia ani rzędu ani wyznacznika a ponad to mamy
\(\displaystyle{ \det AB=\det A \cdot \det B}\)
\(\displaystyle{ \det A^T=\det A}\)
Więc z pozłocenia tego :
\(\displaystyle{ \det A^{T}A=\det A^T\cdot \det A=(\det A)^2 \neq 0}\)

[Matiks21]

AU

5df9f1d361e7a1116a891214a41574fb--animation-youtubers.jpg (6.66 KiB) Przejrzano 168 razy

[leg14]

Mamy \(\displaystyle{ v^T A^T A v = <Av,Av>}\) co jest wieksze niz zero bo A jest monomorfizmem. Zatem macierz \(\displaystyle{ A^T A}\) jest dodatnio okreslona, a zatem odwracalna.

[NogaWeza]

W ogólności też to jest prawda, jeśli dobrze pamiętam. Chciałem poszukać związku na przykład z twierdzeniem spektralnym czy teorią Jordana, bo \(\displaystyle{ A^T A}\) jest symetryczne, ale przecież \(\displaystyle{ 0}\) ciągle może być wartością własną, więc chyba nie tędy droga.

Wygrzebałem coś takiego.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Z odwzorowaniami liniowymi \(\displaystyle{ A : V \rightarrow W}\), gdzie \(\displaystyle{ \dim V = n, \dim W= m}\) można skojarzyć macierze wymiaru \(\displaystyle{ m \times n}\) (izomorfizm, bla bla bla)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Rząd odwzorowania (ściślej - rząd obrazu tego odwzorowania) to jest rząd macierzy tego odwzorowania, czyli \(\displaystyle{ \mbox{rank} A = \dim im A}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Twierdzenie o rzędzie: \(\displaystyle{ \dim V = \dim im A + \dim ker A = \mbox{rank} A + \dim ker A}\), u nas \(\displaystyle{ V}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n}\), a o macierzy \(\displaystyle{ A}\) wiadomo, że jest pełnego rzędu, czyli ten rząd to też \(\displaystyle{ n}\). Wobec tego jądro jest trywialne, czyli jego wymiar jest zerowy (tj. jądro zawiera tylko wektor zerowy).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Wiadomo, że \(\displaystyle{ A^T A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ m \times m}\). Macierz kwadratowa jest odwracalna (czyli ma niezerowy wyznacznik) tylko, gdy jej rząd jest równy jej wymiarowi, w tym przypadku \(\displaystyle{ m}\). W przypadku macierzy \(\displaystyle{ A^T A}\) z twierdzenia o rzędzie: \(\displaystyle{ m = \mbox{rank} (A^T A) + \dim ker ( A^T A)}\). Żeby pokazać, że rząd \(\displaystyle{ A^T A}\) jest rzeczywiście \(\displaystyle{ m}\) można pokazać równoważnie, że jądro \(\displaystyle{ A^T A}\) jest trywialne.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \bullet}\) To, że jakiś wektor \(\displaystyle{ v}\) należy do jądra \(\displaystyle{ A^T A}\) znaczy, że \(\displaystyle{ (A^T A) v = 0}\). Obustronnie mnożąc przez \(\displaystyle{ v^T}\) mamy:\(\displaystyle{ v^T (A^T A) v = 0}\). Teraz trochę zabawy: \(\displaystyle{ v^T (A^T A) v = (Av)^T Av = 0}\), oczywiście \(\displaystyle{ Av}\) to wektor, a transpozycja wektora razy on sam to nic innego, jak iloczyn skalarny, a więc kwadrat jego długości. Wiadomo, że zerową długość ma tylko wektor zerowy, zatem \(\displaystyle{ Av}\) musi być wektorem zerowym.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Kulminacja - wiemy już, że \(\displaystyle{ Av}\) jest wektorem zerowym. Ale przecież \(\displaystyle{ Av = 0}\) mówi nam jeszcze, że \(\displaystyle{ v}\) należy do jądra \(\displaystyle{ A}\)! Jądro \(\displaystyle{ A}\) zawierało tylko wektor zerowy i dzięki temu rozumowaniu wiemy już, że tak samo jądro \(\displaystyle{ A^T A}\) zawiera tylko wektor zerowy, a zatem jest trywialne - ma wymiar zero. Stąd \(\displaystyle{ \dim im (A^T A) = \mbox{rank} (A^T A)= m}\), co jest też równe wymiarowi tej macierzy, zatem \(\displaystyle{ A^T A}\) jest odwracalne.

O, to w poście wyżej jest fajne, sto razy zwięźlejsze niż te moje wypociny, tylko coś tam pasowałoby wiedzieć o formach kwadratowych i ich określoności.

[Matiks21]

Mała poprawka do postu wyżej

\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\)

a zachodzi może ogólniejsze twierdzenie?

Mianowicie, jeżeli A jest macierzą \(\displaystyle{ m \times n}\), gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\) i ma rząd \(\displaystyle{ r}\) to macierz \(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A}\) też ma rząd \(\displaystyle{ r}\) ?

[NogaWeza]

No rzeczywiście, przez chwilę wydawało mi się, że chodzi o \(\displaystyle{ A A^T}\), tak czy siak rozumowanie z iloczynem skalarnym pozostaje w mocy.

Na wiki masz sporo własności rzędu macierzy:
1)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Rz%C4%85d_macierzy#Podstawowe_w.C5.82asno.C5.9Bci

2)

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29#Properties

Z przedostatniej własności z angielskiej wiki wynika, że istotnie tak jest. Żeby to pokazać można pewnie zmodyfikować lekko to rozumowanie, które przytoczyłem, tj. pokazać, że wymiary jąder są takie same, jakkolwiek niefortunnie by to nie brzmiało

[leg14]

Mozna tez zmodyfikowac moje rozumowanie, traltujac rzad jako wymiar obrazu.