Przestrzeń linowa w dwóch zapisach.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Hubkor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 28 sie 2012, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Przestrzeń linowa w dwóch zapisach.

Post autor: Hubkor »

Są dwa wektory.
\(\displaystyle{ X_1=(1,2,1),X_2=(-1,1,0)}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{3}}\) nad \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ V=Lin(X_1,X_2)}\).
Można przedstawić \(\displaystyle{ V}\) na dwa sposoby.
\(\displaystyle{ V=\{(\alpha-\mu,2\alpha+\mu,\alpha): \ \alpha,\mu \ \in R \}=\{(x,y,z) \in R^{3}:x+y-3z=0\}}\)

Mógłby ktoś mi wyjaśnić skąd bierze się ta druga postać?
szw1710

Re: Przestrzeń linowa w dwóch zapisach.

Post autor: szw1710 »

Policz to z pierwszej postaci.

Można też tak: jak widać, \(\displaystyle{ V}\) jest dwuwymiarowa czyli jest to płaszczyzna. Mało tego, jest ona równoległa do dwóch wektorów \(\displaystyle{ X_1,X_2}\), a więc wektor prostopadły do niej jest ich iloczynem wektorowym. Płaszczyzna \(\displaystyle{ V}\) jako podprzestrzeń przechodzi obowiązkowo przez początek układu. Skorzystaj z równania płaszczyzny w postaci ogólnej.
Hubkor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 28 sie 2012, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Przestrzeń linowa w dwóch zapisach.

Post autor: Hubkor »

Policz to z pierwszej postaci.
Zapewniam że bardzo tego pragnę, tylko nie wiadomo jak zacząć .
Mało tego, jest ona równoległa do dwóch wektorów \(\displaystyle{ X_1,X_2}\),
Może głupie pytanie, ale...
Nie należą one do \(\displaystyle{ V}\)?
szw1710

Re: Przestrzeń linowa w dwóch zapisach.

Post autor: szw1710 »

Należą. Jest tu pewna delikatność. Płaszczyzna składa się z punktów - elementów przestrzeni afinicznej. Wektory możesz traktować jak punkty w tym sensie, że zaczepiasz je w początku układu i wtedy współrzędne wektorów są zarazem współrzędnymi punktów - końców. Tak więc moje podejście pochodzi z geometrii afinicznej.

Można jeszcze inaczej. Niech \(\displaystyle{ x=\alpha-\mu,\;y=2\alpha+\mu,\;z=\alpha.}\) Mamy tu układ trzech równań z pięcioma niewiadomymi. Wylicz stąd \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \mu}\) w zależności od \(\displaystyle{ x,y,z}\). Pół minuty roboty i od razu wychodzi.
ODPOWIEDZ