Iloczyn skalarny, a izomorfizmy

[NogaWeza]

Ok, rozumiem. Bazę dualną tworzą odwzorowania \(\displaystyle{ v^1 , ... , v^n}\) przypisujące wektorowi skalar i spełniają one warunek \(\displaystyle{ v^i (v_j ) = \delta_{ij}}\). Co prawda \(\displaystyle{ v^i}\) to odwzorowanie, ale jednak przypomina mi to dość mocno iloczyn skalarny wektorów ortonormalnych. Zbiór odwzorowań idących z \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) jest izomorficzny ze zbiorem macierzy wymiaru \(\displaystyle{ 1 \times n}\). Teraz jeśli wykorzystam ten izomorfizm i stwierdzę, że przekształcenia \(\displaystyle{ v^i}\) będę reprezentował jako wektory poziome, zaś wektory \(\displaystyle{ v_i}\) jako wektory pionowe, to rzeczywiście dostaję iloczyn skalarny. Sporo tu pewnie machania rękami, coś mi mówi, że to nie takie proste. Będę wdzięczny za słowo komentarza do tego co napisałem, a potem pewnie zadam jeszcze parę pytań.

[AiDi]

Dobrze kombinujesz. Zwyczajowo iloczyn skalarny to dwuliniowe, symetryczne, dodatnio określone odwzorowanie \(\displaystyle{ V\times V\rightarrow \RR}\). Jednak odwzorowanie to (dzięki niezdegenerowaniu) indukuje izomorfizm \(\displaystyle{ \widetilde{g}:V\rightarrow V^\star}\): jak w którykolwiek slot włożymy jakiś wektor \(\displaystyle{ v}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ \widetilde{g}(v)=g(v,\cdot)}\), czyli \(\displaystyle{ g}\) z jednym slotem wolnym, zatem odwzorowanie \(\displaystyle{ V\rightarrow\RR}\) czyli element \(\displaystyle{ V^\star}\). Cały proceder nazywa się (w kontekście rachunku tensorowego) "opuszczaniem wskaźników". Niech \(\displaystyle{ g_{ij}}\) będzie elementami macierzowymi \(\displaystyle{ g}\) w pewnej bazie, wtedy \(\displaystyle{ v_j\stackrel{df.}=\sum_{i}g_{ji}v^i}\). Zwróć uwagę, że ja literką \(\displaystyle{ v}\) oznaczam współrzędne wektorów i wektorów dualnych, dlatego indeksy są na odwrót niż u Ciebie. Działam zatem na liczbach, a nie odwzorowaniach. Zbierając to w całość: \(\displaystyle{ g(v,w)=\sum_{i,j}g_{ij}v^iw^j=\sum_{j}v_jw^j}\). Reprezentowanie elementów \(\displaystyle{ V^\star}\) jako macierzy jednowierszowych to dobry pomysł, tylko trzeba pamiętać, że to co w macierzy się znajduje to współczynniki rozkładu kowektora w bazie dualnej, a nie sama baza To samo się tyczy wektorów.

Ciekawostka fizyczna:
W przestrzeni euklidesowej z kanonicznym iloczynem skalarnym mamy \(\displaystyle{ g_{ij}=\delta_{ij}}\) w bazie standardowej. Stąd \(\displaystyle{ v_i=v^i}\) i dlatego takie wielkości fizyczne jak siła, pęd, czy natężenie pola elektrycznego milcząco traktuje się jak wektory "strzałki", czyli elementy \(\displaystyle{ V}\). Geometrycznie to elementy \(\displaystyle{ V^\star}\). Np. pęd mechaniczny wyraża się wzorem \(\displaystyle{ p=m\widetilde{g}(v)}\). Z gradientem podobnie, definiuje się go jako pole kowektorów i za pomocą \(\displaystyle{ \widetilde{g}^{-1}}\) robi się z niego pole wektorowe.

[NogaWeza]

Podstawom rachunku tensorowego planuję się przyjrzeć, więc wtedy to co napisałeś będzie z pewnością dla mnie użyteczne. Dlaczego fakt, że \(\displaystyle{ v}\) oznaczasz współrzędne powoduje odwrócenie indeksów? Jakoś tego nie widzę.

Mam kolejne pytanie - w jaki sposób odwzorowanie \(\displaystyle{ V \times V \rightarrow \RR}\) indukuje izomorfizm \(\displaystyle{ \widetilde{g}}\)? Tzn. w szczególności o co chodzi z tym niezdegenerowaniem?

Swoją drogą przepraszam za poziom tych pytań i dziękuję Ci za cierpliwość

[AiDi]

Dlaczego fakt, że \(\displaystyle{ v}\) oznaczasz współrzędne powoduje odwrócenie indeksów? Jakoś tego nie widzę.

Położenie indeksów mówi nam o tym jak się dany obiekt transformuje przy zmianie bazy. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A}\) macierz zmiany bazy w danej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Wtedy współrzędne wektora transformują się przez macierz odwrotną \(\displaystyle{ A^{-1}}\), zatem inaczej niż sama baza. Historycznie się przyjęło, że bazie przypisujemy indeksy dolne, a współrzędnym górne. Zatem można zapisać \(\displaystyle{ v=\sum_iv^ie_i}\). Na tym opiera się

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Konwencja_sumacyjna_Einsteina

Wiem, że na wielu początkowych kursach algebry się na to nie zwraca uwagi, ale jak się poważniej tematem zajmować to ma to duże znaczenie Przechodząc do przestrzeni dualnej \(\displaystyle{ V^\star}\), okazuje się, że wektory bazy dualnej też transformują się odwrotnie niż baza w wyjściowej przestrzeni, dlatego baza dualna ma indeksy górne. Zachodzi \(\displaystyle{ \varepsilon^i(e_j)=\delta^i_j}\), a nie \(\displaystyle{ \delta_{ij}}\) jak napisałeś w swoim poście Jako że współrzędne kowektorów transformują się odwrotnie niż baza dualna, a \(\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A}\), więc współrzędne te transformują się jak baza w \(\displaystyle{ V}\). Zatem tak jak ona mają one indeksy dolne. Kowektor można zapisać \(\displaystyle{ \alpha=\sum_i\alpha_i\varepsilon^i}\).

Mam kolejne pytanie - w jaki sposób odwzorowanie \(\displaystyle{ V \times V \rightarrow \RR}\) indukuje izomorfizm \(\displaystyle{ \widetilde{g}}\)? Tzn. w szczególności o co chodzi z tym niezdegenerowaniem?

Ważne jest to, że nie byle jakie odwzorowanie \(\displaystyle{ V \times V \rightarrow \RR}\), ale konkretne: iloczyn skalarny. Jego definicję pewnie znasz. Niezdegenerowanie to nazwa na tę własność iloczynu skalarnego, która mówi, że \(\displaystyle{ g(v,w)=0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z wektorów jest wektorem zerowym. I teraz, skoro w odwzorowaniu \(\displaystyle{ g}\) mam dwa wolne miejsca na włożenie wektorów, to mogę się zastanowić co się stanie jak włożę tylko jeden, a drugie miejsce zostawię puste. Wtedy otrzymam obiekt, w który mogę włożyć jeden wektor, na sposób liniowy (bo \(\displaystyle{ g}\) jest liniowe w każdym argumencie), a po włożeniu tego wektora otrzymam liczbę. Innymi słowy, wkładając jakiś wektor z \(\displaystyle{ V}\) w jedno puste miejsce otrzymam odwzorowanie należące do \(\displaystyle{ V^\star}\). W tym sensie \(\displaystyle{ g}\) indukuje odwzorowanie \(\displaystyle{ \widetilde{g}:V\rightarrow V^\star, \widetilde{g}(v)=g(v,\cdot)}\). Ta kropeczka znaczy, że to miejsce jest puste. Z niezdegenerowania \(\displaystyle{ g}\) wynika, że jądro \(\displaystyle{ \widetilde{g}}\) jest trywialne, bo tylko wkładając wektor zerowy do \(\displaystyle{ g}\) otrzymam zerowy element z \(\displaystyle{ V^\star}\). A skoro jądro jest trywialne, to wymiar obrazu jest równy wymiarowi \(\displaystyle{ V^\star}\), zatem odwzorowanie jest surjektywne. W skończenie wymiarowym przypadku daje nam to od razu izomorficzność. Izomorfizm ten jest przykładem izomorfizmu kanonicznego, bo nigdzie bazy nie wykorzystywaliśmy, jednak konieczne było istnienie na \(\displaystyle{ V}\) iloczynu skalarnego. Dlatego mi osobiście ciężko nie odróżniać \(\displaystyle{ V}\) od \(\displaystyle{ V^\star}\) tak jak to zwykle się robi w przypadku izomorfizmów kanonicznych Plus, jak pisałem wyżej, w fizyce to trochę zaciemnia sprawę.

[NogaWeza]

Wow, naprawdę nieźle tłumaczysz, bo o dziwo zrozumiałem, albo tak mi się wydaje Szczególnie to wkładanie wektorów w sloty rozjaśniło mi pogląd na sprawę, dzięki

Co natomiast, gdy będziemy rozpatrywać przestrzenie liniowe nad \(\displaystyle{ \CC}\) ? Wtedy iloczyn skalarny wypadłoby zdefiniować jako formę półtoraliniową, czyli antyliniową ze względu na drugi argument. Wtedy będzie miało znaczenie w który slot co wkładamy, prawda?

Wtedy chcąc skonstruować izomorfizm \(\displaystyle{ \widetilde{g} : V \rightarrow V^\star}\) musimy zapewne pamiętać, że \(\displaystyle{ g(\cdot , v) = \overline{g(v,\cdot)} = \overline{\widetilde{g} (v)}}\). Spowoduje to, że odpowiednikiem wektora kolumnowego będzie jego sprzężenie hermitowskie (a nie tylko transpozycja jak w przypadku rzeczywistym). Mylę się? Tak się chyba robi z bra i ketami, bo z tego co wyczytałem, to stany tworzą przestrzeń wektorową. Oczywiście nie znam się na mechanice kwantowej, ale klikałem w losowe artykuły na wiki i trochę daleko mnie wyniosło

[AiDi]

Wtedy będzie miało znaczenie w który slot co wkładamy, prawda?

Prawda. Mamy wtedy dwie możliwości. Konwencja fizyczna jest taka, że pierwszy slot jest antyliniowy, a drugi liniowy. Jeśli włożymy wektor w ten drugi slot, to otrzymamy odwzorowanie \(\displaystyle{ V\rightarrow\CC}\), które jest antyliniowe. Fajnie, ale wolelibyśmy otrzymać raczej coś co należy do \(\displaystyle{ V^\star}\). Musimy zatem włożyć wektor na pierwsze miejsce. Otrzymujemy wtedy odpowiedniość \(\displaystyle{ V\rightarrow V^\star}\), która nie jest liniowa lecz antyliniowa, oraz spełnia wszystkie pozostałe własności izomorfizmów. Takie antyliniowe 'izomorfizmy' nazywa się czasem antyizomorfizmami. Wszystko to opisuje (w kontekście

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_Hilberta

)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Riesza_%28przestrzenie_Hilberta%29

.

Tak się chyba robi z bra i ketami, bo z tego co wyczytałem, to stany tworzą przestrzeń wektorową. Oczywiście nie znam się na mechanice kwantowej, ale klikałem w losowe artykuły na wiki i trochę daleko mnie wyniosło

Tak, zazwyczaj stany tworzą zespoloną, unitarną przestrzeń wektorową. Wymaga się jeszcze dodatkowo, żeby metryka indukowana przez iloczyn skalarny robiła z tej przestrzeni przestrzeń zupełną. To wszystko razem, to przestrzeń Hilberta. Notacja bra-ket Diraca opiera się właśnie na twierdzeniu Riesza. Każdemu wektorowi (ket) \(\displaystyle{ |v\rangle}\) odpowiada funkcjonał liniowy (bra) \(\displaystyle{ \langle v|}\) . Z antyliniowości tej odpowiedniości wynika, że w zapisie macierzowym przejście od jednego do drugiego polega na 'wzięciu' sprzężenia hermitowskiego, a nie tylko zwykłej transpozycji.
Ścisły matematyczny opis niektórych układów kwantowych wymaga jednak przejścia do czegoś ogólniejszego niż przestrzeń Hilberta, do tzw. trójki Gelfanda, a w języku angielskim rigged-Hilbert space. W tym ogólniejszym przypadku twierdzenie Riesza się nie stosuje i nie każdy bra ma swój ket

PS. Wydzieliłem ten mały off-top

[Smiglo]

Cześć! A ja mam pytanie wyjaśniające. Słabo kojarzę podnoszenie opuszczanie wskaźników, więc się douczam (oczywiście Wikipedia na dobry początek ). Ale jak trafi się na coś takiego to jakby uderzyć w mur. Tam jest napisane:

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i}^{} \sum_{j}^{} a^{i} b^{j}}\)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Konwencja_sumacyjna_Einsteina#Uzasadnienie

albo:

\(\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{B} = g _{ij} A^{i} B^{j} = A^{i} B_{j} = A_{i} B^{j}}\)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Tensor_metryczny#Iloczyn_skalarny_dowolnych_wektor.C3.B3w

O co w tym chodzi, czy to jest błąd? Patrzę na te niuanse konwencji sumacyjnej i o ile wzór z \(\displaystyle{ g_{ij}}\) jest jasny (oba indeksy nieme) to w żadnym wypadku nie mogę dojść, jakim cudem iloczyn skalarny wektorów to iteracja po dwóch indeksach żywych.

[AiDi]

\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i}^{} \sum_{j}^{} a^{i} b^{j}}\)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Konwencja_sumacyjna_Einsteina#Uzasadnienie

No to wydaje się być po prostu błędnym zapisem... Tamten drugi też. Wikipedia koniec końców jest słabym źródłem czerpania wiedzy konkretnej

[Smiglo]

natknąłem się jeszcze na to:
... nt_liniowy wzory 2, 4 i 5.

\(\displaystyle{ ds^{2} = (dx^{1})^{2} + \cdots + (dx^{n})^{2}=\sum_{i=1}^n(dx^{i})^{2}}\) (2)
i po podstawieniu do niego:
\(\displaystyle{ dx^{i} = \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j}}\) (4)
dostają:
\(\displaystyle{ ds^{2}
=\sum_{i=1}^n(dx^{i})^{2}
=\sum_{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j}\right)
\left(\sum _{k=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{k}\right)
=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}}\) (5)
i rozkładają to, dostając definicję:
\(\displaystyle{ g_{jk} \equiv \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} }}\) (6)
czyli, że niby:
\(\displaystyle{ ds^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}}\) (7)

jak na moje to ds^2 ze wzoru (2) i (7) to nie to samo, bo w (7) będą występowały też wyrazy mieszane, a w (2) tylko te z przekątnej tego tensora g, bo wciągnęli znak sumy pod kwadrat.

wygląda to zupełnie tak, jakby skalar do kwadratu był utożsamiany z jakimś tensorem na zasadzie:
\(\displaystyle{ X^2 = X_i \cdot X^j = X_i^j}\)
skalar nie ma indeksów, więc w sumie tak sobie tłumaczę, że można sobie wyobrazić, że te nieistniejące indeksy są, dowolnie, u góry albo u dołu...

Czy dobrze rozumiem, że na przykład prawdziwa byłaby zależność:
\(\displaystyle{ A^{ij} \cdot B^{ij} = C^{ij}}\) (czyli tensor razy tensor daje tensor), ale:
\(\displaystyle{ A_{ij} \cdot B^{ij} = C}\) (czyli tensor kontrawariantny razy kowariantny daje skalar) ?-- 3 gru 2017, o 13:39 --Cofam wątpliwości dotyczące wyprowadzenia w wikipedii indeks \(\displaystyle{ i}\) pozostaje ten sam w obu mnożonych członach, więc jest w porządku. Ale jeszcze tego ostatniego (3 ostatnie linijki w poście wyżej) nie jestem pewien.

[AiDi]

Czy dobrze rozumiem, że na przykład prawdziwa byłaby zależność:
\(\displaystyle{ A^{ij} \cdot B^{ij} = C^{ij}}\) (czyli tensor razy tensor daje tensor)

Nie nie nie, nie możesz mieć dwóch takich samych wskaźników na tym samym poziomie. Możesz "mnożyć" tensory (iloczyn tensorowy), ale wtedy walencje tensorów się dodają. Wtedy "iloczyn" tensorów 2-kontrawariantnych, który prawie zapisałeś, dałby tensor 4-krotnie kontrawariantny.

\(\displaystyle{ A_{ij} \cdot B^{ij} = C}\) (czyli tensor kontrawariantny razy kowariantny daje skalar) ?

Tutaj "razy" oznacza kontrakcję po dwóch wskaźnikach. Jeśli chcesz się pouczyć o tensorach i przy okazji mieć dodatkowy "background" to polecam

Kod: Zaznacz cały

http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/alg/print_eco.pdf

.