Dla podanej liczby \(\displaystyle{ r}\) podać liczbę \(\displaystyle{ N}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ r}\) w grupie cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ 100!}\).
\(\displaystyle{ a) r=60}\)
\(\displaystyle{ b) r=30}\)
Grupa cykliczna
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Grupa cykliczna
Jeżeli wiesz, co to jest grupa cykliczna, to pewnie orientujesz się, że musisz policzyć:
w a) ile jest liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ x}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 100!}\) takich, że
\(\displaystyle{ 100!|60x}\) oraz dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) mniejszej niż \(\displaystyle{ 60}\) mamy \(\displaystyle{ 100! \nmid nx}\)
W b) analogicznie, tylko \(\displaystyle{ 30}\) zamiast \(\displaystyle{ 60}\).
Zrobię a), samodzielnie rozwiąż podpunkt b). Nietrudno zauważyć, że liczby takie są postaci
\(\displaystyle{ \frac{100!}{60}\cdot m}\), gdzie \(\displaystyle{ \NWD(m,60)=1}\) i \(\displaystyle{ m\le 60}\)
Takie liczby łatwo można zliczyć, wystarczy skorzystać z funkcji Eulera i jej podstawowych własności, które znajdziesz np. na wiki lub w notatkach.
\(\displaystyle{ \phi(60)=\phi(2^2\cdot 3\cdot 5)=\phi(2^2)\cdot \phi(3)\cdot \phi(5)=(2-1)\cdot 2\cdot 2\cdot 4=16}\) i tyle też jest elementów rzędu \(\displaystyle{ 60}\) w grupie cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ 100!}\)
w a) ile jest liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ x}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 100!}\) takich, że
\(\displaystyle{ 100!|60x}\) oraz dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) mniejszej niż \(\displaystyle{ 60}\) mamy \(\displaystyle{ 100! \nmid nx}\)
W b) analogicznie, tylko \(\displaystyle{ 30}\) zamiast \(\displaystyle{ 60}\).
Zrobię a), samodzielnie rozwiąż podpunkt b). Nietrudno zauważyć, że liczby takie są postaci
\(\displaystyle{ \frac{100!}{60}\cdot m}\), gdzie \(\displaystyle{ \NWD(m,60)=1}\) i \(\displaystyle{ m\le 60}\)
Takie liczby łatwo można zliczyć, wystarczy skorzystać z funkcji Eulera i jej podstawowych własności, które znajdziesz np. na wiki lub w notatkach.
\(\displaystyle{ \phi(60)=\phi(2^2\cdot 3\cdot 5)=\phi(2^2)\cdot \phi(3)\cdot \phi(5)=(2-1)\cdot 2\cdot 2\cdot 4=16}\) i tyle też jest elementów rzędu \(\displaystyle{ 60}\) w grupie cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ 100!}\)