Rozwiązania układu

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
tomek1172
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 24 kwie 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwiązania układu

Post autor: tomek1172 »

Dla podanej liczby \(\displaystyle{ a}\) wskazać liczby \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) o następującej własności: Dla każdego układu równań liniowych jednorodnych z czterema niewiadomymi, którego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ (1,2,3,4)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,3,5,6)}\), rozwiązaniem tego układu jest także \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\)

a) \(\displaystyle{ a=6, b=?, c=?, d=?}\)

Gdyby było jeszcze b podane, to mógłbym zapisać układ równań i by wyszło, co jeśli podano tylko \(\displaystyle{ a}\)?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Re: Rozwiązania układu

Post autor: yorgin »

Układ jest jednorodny, więc rozwiązania tworzą podprzestrzeń liniową. W szczególności jeśli \(\displaystyle{ x ,y}\) są wektorami spełniającymi dany układ równań, to \(\displaystyle{ \alpha x+\beta y}\) również spełnia to równanie.

Skoro podano tylko \(\displaystyle{ a}\), to wiadomo jedynie, że

\(\displaystyle{ \alpha+2\beta =6}\).

Jest nieskończenie wiele rozwiązań powyższego, tym samym będzie nieskończenie wiele wartości \(\displaystyle{ b, c, d}\) zależnych od jednego parametru.
tomek1172
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 24 kwie 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwiązania układu

Post autor: tomek1172 »

No dobrze, mogę wyrazić rozwiązania tak:

\(\displaystyle{ a=6, b=b, c=b+6, d=2b}\)

I wszystko jest dobrze, ale w odpowiedziach jednak przyjmują, że \(\displaystyle{ b=7}\). Nie wydaje mi się, aby była to kwestia przypadku. Jak do tego dojść, bo jakoś nie mogę tego zauważyć.
Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Rozwiązania układu

Post autor: Takahashi »

Nie można do tego dojść. Skoro rozwiązaniem układu jest wektor \(\displaystyle{ x = (1,2,3,4)}\), to także

\(\displaystyle{ (6,12,18,24) = 6x}\).

Z drugiej strony, \(\displaystyle{ y = (2,3,5,6)}\) też jest rozwiązaniem, a razem z nim

\(\displaystyle{ (6,9,15,18) = 3y}\).

Wniosek - nie można wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ b}\) (oznaczenia jak u yorgina).
ODPOWIEDZ