Dla podanej liczby \(\displaystyle{ a}\) wskazać liczby \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) o następującej własności: Dla każdego układu równań liniowych jednorodnych z czterema niewiadomymi, którego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ (1,2,3,4)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,3,5,6)}\), rozwiązaniem tego układu jest także \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\)
a) \(\displaystyle{ a=6, b=?, c=?, d=?}\)
Gdyby było jeszcze b podane, to mógłbym zapisać układ równań i by wyszło, co jeśli podano tylko \(\displaystyle{ a}\)?
Rozwiązania układu
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Re: Rozwiązania układu
Układ jest jednorodny, więc rozwiązania tworzą podprzestrzeń liniową. W szczególności jeśli \(\displaystyle{ x ,y}\) są wektorami spełniającymi dany układ równań, to \(\displaystyle{ \alpha x+\beta y}\) również spełnia to równanie.
Skoro podano tylko \(\displaystyle{ a}\), to wiadomo jedynie, że
\(\displaystyle{ \alpha+2\beta =6}\).
Jest nieskończenie wiele rozwiązań powyższego, tym samym będzie nieskończenie wiele wartości \(\displaystyle{ b, c, d}\) zależnych od jednego parametru.
Skoro podano tylko \(\displaystyle{ a}\), to wiadomo jedynie, że
\(\displaystyle{ \alpha+2\beta =6}\).
Jest nieskończenie wiele rozwiązań powyższego, tym samym będzie nieskończenie wiele wartości \(\displaystyle{ b, c, d}\) zależnych od jednego parametru.
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 24 kwie 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozwiązania układu
No dobrze, mogę wyrazić rozwiązania tak:
\(\displaystyle{ a=6, b=b, c=b+6, d=2b}\)
I wszystko jest dobrze, ale w odpowiedziach jednak przyjmują, że \(\displaystyle{ b=7}\). Nie wydaje mi się, aby była to kwestia przypadku. Jak do tego dojść, bo jakoś nie mogę tego zauważyć.
\(\displaystyle{ a=6, b=b, c=b+6, d=2b}\)
I wszystko jest dobrze, ale w odpowiedziach jednak przyjmują, że \(\displaystyle{ b=7}\). Nie wydaje mi się, aby była to kwestia przypadku. Jak do tego dojść, bo jakoś nie mogę tego zauważyć.
- Takahashi
- Użytkownik
- Posty: 186
- Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: brak
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 22 razy
Re: Rozwiązania układu
Nie można do tego dojść. Skoro rozwiązaniem układu jest wektor \(\displaystyle{ x = (1,2,3,4)}\), to także
\(\displaystyle{ (6,12,18,24) = 6x}\).
Z drugiej strony, \(\displaystyle{ y = (2,3,5,6)}\) też jest rozwiązaniem, a razem z nim
\(\displaystyle{ (6,9,15,18) = 3y}\).
Wniosek - nie można wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ b}\) (oznaczenia jak u yorgina).
\(\displaystyle{ (6,12,18,24) = 6x}\).
Z drugiej strony, \(\displaystyle{ y = (2,3,5,6)}\) też jest rozwiązaniem, a razem z nim
\(\displaystyle{ (6,9,15,18) = 3y}\).
Wniosek - nie można wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ b}\) (oznaczenia jak u yorgina).