Izomorfizm między przestrzeniami.

[NogaWeza]

Witam.

Mam zbiór wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\), tworzy on nad ciałem liczb rzeczywistych (zespolonych raczej też) przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ \mathbb{W} _n}\).

Czy jest prawdą, że funkcja \(\displaystyle{ a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n \rightarrow (a_0, a_1, ... , a_n)}\) zadaje izomorfizm pomiędzy przestrzeniami \(\displaystyle{ \mathbb{W} _n}\) i \(\displaystyle{ \RR ^{n+1}}\)? Sprawdziłem i według mnie tak, ale gdyby ktoś potwierdził, to byłoby miło.

Teraz niech \(\displaystyle{ \mathbb{W} _n (x_0)}\) oznacza przestrzeń takich wielomianów (stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\)), które zerują się w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Jest to podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{W} _n}\) i jej wymiar to \(\displaystyle{ n}\). W takim razie jest (mam nadzieję) przestrzenią izomorficzną z \(\displaystyle{ \RR^n}\), ale tutaj moje pytanie - jak znaleźć funkcję zadającą ten izomorfizm?

W ogólności jeśli mamy dowolną przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\) lub \(\displaystyle{ \RR}\), to czy zawsze jest ona izomorficzna z \(\displaystyle{ \CC ^n}\) lub \(\displaystyle{ \RR ^n}\)?

[AiDi]

W ogólności jeśli mamy dowolną przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\) lub \(\displaystyle{ \RR}\), to czy zawsze jest ona izomorficzna z \(\displaystyle{ \CC ^n}\) lub \(\displaystyle{ \RR ^n}\)?

Tak, to jeden z podstawowych faktów. Izomorfizm zadawany jest przez wybór bazy w rozpatrywanej przestrzeni, wtedy obrazem wektora jest ciąg współczynników rozkładu w wybranej bazie. Jako, że żadna baza nie jest w gruncie rzeczy wyróżniona, to izomorfizmy te nie są kanoniczne. Aby izomorfizm był kanoniczny, to musi być niezależny od wyboru bazy.

[NogaWeza]

Ok, rzeczywiście widzę teraz, że tak musi być, dziękuję.
Co to znaczy, że izomorfizm musi być niezależny od wyboru bazy? Może jakiś przykład, jeśli jesteś w stanie? Będę wdzięczny.

[AiDi]

Niezależny od bazy, czyli najlepiej kiedy jego konstrukcja nie wykorzystuje w żaden sposób bazy Bo izomorfizm podany przeze mnie wyżej jest jawnie od bazy zależny, a inny wybór da nam inny ciąg współczynników dla danego wektora, zatem inny izomorfizm. Izomorfizm kanoniczny dwóch przestrzeni pozwala na dużo mocniejsze identyfikowanie ich ze sobą, w praktyce się ich wręcz nie rozróżnia.
Standardowy (przynajmniej dla mnie) przykład izomorfizmu kanonicznego pojawia przy rozpatrywaniu przestrzeni dualnych. Nie wiem czy to już miałeś, więc zapodam definicję. Jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią wektorową nad np. \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to przestrzeń dualną \(\displaystyle{ V^\star}\) definiuje się jako przestrzeń wektorową wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:V\rightarrow\mathbb{R}}\).
Jako, że \(\displaystyle{ V^\star}\) samo jest przestrzenią wektorową to można rozpatrywać \(\displaystyle{ (V^\star)^\star}\). Obiekt ten wydaje się już trochę bardziej skomplikowany, ale można pokazać, że przestrzeń ta jest właśnie kanonicznie izomorficzna z samym \(\displaystyle{ V}\). Oznaczmy ten izomorfizm następująco: \(\displaystyle{ \alpha: V\rightarrow (V^\star)^\star}\). Musi on przyporządkować wektorowi \(\displaystyle{ v\in V}\) element z \(\displaystyle{ (V^\star)^\star}\), czyli odwzorowanie \(\displaystyle{ V^\star\rightarrow\mathbb{R}}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha(v)\stackrel{ozn.}{=}\alpha_v}\). Odwzorowanie to definiujemy następująco, poprzez jego działanie na elemencie \(\displaystyle{ f\in V^\star}\): \(\displaystyle{ \alpha_v(f)=f(v)\in\mathbb{R}}\).
Włala, nie wykorzystałem w ogóle bazy. Jeszcze pozostaje pokazanie, że faktycznie jest to izomorfizm, ale to zbędne teraz.
To działa dla wszystkich skończenie wymiarowych przestrzeni. W przypadku nieskończonym jest już różnie.

[a4karo]

Wskazówka do \(\displaystyle{ W_n(x_0)}\);
Taki wielomian dzięki się przez \(\displaystyle{ x-x_0}\)

[NogaWeza]

AiDi, dzięki, przeanalizuję to co napisałeś trochę później.

a4karo, rzeczywiście. Wobec tego \(\displaystyle{ w(x) = (x-x_0) v(x)}\), a jako, że \(\displaystyle{ v}\) należy do \(\displaystyle{ \mathbb{W} _{n-1}}\), za której bazę można przyjąć \(\displaystyle{ 1, x, x^2, ..., x^{n-1}}\), to każdy wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{W } _n (x_0)}\) można zapisać jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ (x - x_0), x(x-x_0) , ..., x^{n-1} (x-x_0)}\). Teraz jeśli dowolny wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{W} _n (x_0 )}\) przeprowadzę na ciąg współrzędnych w bazie, którą utworzyłem, to mam izomorfizm... oby.

Edit: z przestrzenią dualną to chodzi o wszystkie funkcje liniowe z \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), tak?

[AiDi]

Edit: z przestrzenią dualną to chodzi o wszystkie funkcje liniowe z \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), tak?

Tak. Jest to przestrzeń wektorowa takiego samego wymiaru jak \(\displaystyle{ V}\).