znajdź równanie

[nebhe]

\(\displaystyle{ P=(1,2,3), Q=(2,1,4)}\) -> przestrzeń afiniczna \(\displaystyle{ \RR^{3}}\)
a) znajdź parametryzację prostej \(\displaystyle{ L}\) przechodzacej przez \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) oraz układ równań opisujący \(\displaystyle{ L}\)
z a) sobie poradziłem, wyszło mi
\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x_{1}+x_{2}=3 \\ x_{1}-x_{3}=-2 \end{cases}}\)
i parametryzacja
\(\displaystyle{ (1,2,3)+t(1,-1,1) , t \in \RR}\)
b) znajdź równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ H \subset \RR^{3}}\) dla której \(\displaystyle{ Q}\) jest przekształceniem ortogonalnym \(\displaystyle{ P}\) na \(\displaystyle{ H}\)
Tutaj wiem jak teoretycznie wygląda sytuacja, ale nie mam pojęcia co trzeba zrobić aby znaleźć \(\displaystyle{ H}\)

[szw1710]

Obowiązującym językiem na forum jest język polski. Powinieneś przetłumaczyć tematy zadań.

a) OK
b) Płaszczyzna \(\displaystyle{ H}\) zawiera punkt \(\displaystyle{ Q}\) i jest prostopadła do wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{PQ},}\) nieprawdaż?

Popraw się i nie podawaj angielskich treści.

[nebhe]

No tak, nie pomyślałem o tym. Czyli w skrócie musimy znaleźć bazę prostopadłą, wyznaczyć z niej równanie, w tym przypadku prostopadłe do L i podstawić punkt Q, i będzie całe równanie, dobrze myślę?
Sory za angielski, zapomniałem, że tu nie można.

[szw1710]

Przewaga formy nad treścią. Zadanie jest na 10 sekund pisania. Płaszczyzna przechodzi przez \(\displaystyle{ P}\) i jest prostopadła do \(\displaystyle{ PQ}\). To najbardziej podstawowy zestaw danych determinująych równanie płaszczyzny w postaci ogólnej.

[nebhe]

Czyli podsumowując
\(\displaystyle{ H=L^{T}=lin((1,1,0),(1,0,-1)) \\
H: x_{2}=x_{1}+x_{3}, Q \in H \\
H: x_{1}-x_{2}+x_{3}=5}\)

[szw1710]

Tak. Ale dalej to przerost formy nad treścią. Popatrz czemu to zadanie na 10 sekund: skoro \(\displaystyle{ PQ=[1,-1,1],}\) to \(\displaystyle{ H}\) ma równanie \(\displaystyle{ (x_1-2)-(x_2-1)+(x_3-4)=0.}\) I po wszystkim. Korzystałem z postaci ogólnej równania płaszczyzny prostopadłej do danego wektora i przechodzącej przez dany punkt.