Weryfikacja zadania. Płaszczyzna.

[nickerr]

Witam
Rozwiązałem zadania związane z płaszczyzną ale nie mam pojęcia czy wyniki są poprawne.
Metod rozwiązania szukałem w internecie i nie mam pewności czy są poprawne więc zamieszczę moje wyniki do odpowiednich podpunktów i będę wdzięczny jeśli ktoś mógłby je zweryfikować

Rozważmy punkty A=(0,1,2), B=(1,3,1), C=(1,1,0) D=(-1,2,3).
a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A, B i C. Mój wynik : -4x+y-2z+3=0
b) Wyznaczyć cos \(\displaystyle{ \alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ACD. Mój wynik: \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{70} }{35}}\)
c) Wyznaczyć odległość punktu D od płaszczyzny wyznaczonej w podpunkcie a). Mój wynik: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{21} }{7}}\)
d) Obliczyć objętość czworościanu ABCD. Mój wynik: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[a4karo]

Cały dowcip polega na tym, że sprawdzający nie będzie oceniał wyniku, lecz sposób rozumowania. Jeżeli wynik masz prawidłowy, ale otrzymałeś go rozumując niepoprawnie, to dostaniesz marną ocenę.

Pokaz rozwiązania, to ocenimy

[nickerr]

To podpunkt a)

Wziąłem sobie jeden punkt należący do płaszczyzny np. P=(x,y,z) i:

\(\displaystyle{ (overrightarrow{AP} imes overrightarrow{AB}) * overrightarrow{AC} = 0 Leftrightarrow
left|egin{array}{ccc}x&y-1&z-2\1&2&-1\1&0&-2end{array}
ight| = 0 Leftrightarrow -4x+y-2z+3=0}\) - szukane równanie płaszczyzny

Podpunkt c) korzystałem ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny:

\(\displaystyle{ d = frac{left| Ax _{0} + By _{0} + Cz _{0} + D
ight| }{ sqrt{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} } }}\)-- 6 lip 2017, o 19:53 --Do podpunktu b) znalazłem podpowiedź na tym forum pod linkiem: 237035.htm Odpowiedź użytkownika: jetix

A podpunkt d) wyznaczyłem sobie wektory \(\displaystyle{ overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}, overrightarrow{AD}}\) i skorzystałem ze wzoru: \(\displaystyle{ V= frac{1}{6} left| overrightarrow{AB}*(overrightarrow{AC} imes overrightarrow{AD})
ight|}\)

[a4karo]

Rozumowania ok

[nickerr]

Ok Wielkie dzięki!