Diagonalizacja macierzy, problem z lambdą.

[Lyroys]

Witam, mam następujące pytanie:

Potrzebuje znaleźć macierz diagonalną D podobną do macierzy B. Cały proces liczenia jest dla mnie jasny, jednak zastanawiam się co w przypadku kiedy któraś z lambd będzie wynosić zero. Wtedy wyznacznik z D będzie równy 0, a to chyba nie może mieć miejsca. Da się to jakoś sprytnie rozwiązać? Czy po prostu niemożliwe jest wtedy znalezienie D?

Pozdrawiam.

[Pakro]

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ B}\) macierzą kwadratową, a \(\displaystyle{ D}\) jest podobną do niej macierzą to istnieje macierz nieosobliwa \(\displaystyle{ C}\), że \(\displaystyle{ D=C^{-1}BC}\), a stąd i wzoru Cauchy'ego mamy:
\(\displaystyle{ det(D)=det(C^{-1}BC))=det(C^{-1})det(B)det(C)=}\)
\(\displaystyle{ det(C)^{-1}det(B)det(C)=det(B)}\).
Wynika stąd, że \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają te same wyznaczniki.

[Lyroys]

Rzeczywiście, nie zwróciłem na to uwagi, czyli w takim przypadku nie pozostaje nic innego jak znaleźć ową macierz D i nie przejmować się że jej wyznacznik wynosi zero, czy napisać że taka macierz D nie może powstać?

[yorgin]

Nie należy się przejmować zerowym wyznacznikiem. Znaczy to tylko tyle, że \(\displaystyle{ 0}\) jest wartością własną, co absolutnie jest dopuszczalne. Dla diagonalizacji ważniejszym problemem jest zgodność krotności geometrycznych z algebraincznymi.

[Lyroys]

Rozumiem, dziękuję bardzo za rozwianie moich wątpliwości