Mam kilka rozważań teoretycznych.
1) Niech \(\displaystyle{ V}\) przestrzeń liniowa nad \(\displaystyle{ \mathbb_{R}}\). Czy istnieje endomorfizm \(\displaystyle{ f:V\rightarrow V}\) taki, że \(\displaystyle{ \dim\ker f>0}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) nie ma wektorów własnych?
Weźmy np. endomorfizm zadany macierzą \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\end{array}\right]}\)
wtedy wielomian charakterystyczny jest równy \(\displaystyle{ \lambda ^{2}+1}\) nie ma pierwiastków więc nie ma wartości a zatem i wektorów własnych. Jądro tego endomorfizmu składa się z wektora zerowego zatem wymiar jądra jest większy od zera, a więc istnieje takie przekształcenie.
2) Mamy \(\displaystyle{ (V,h)}\) przestrzeń dwuliniowa oraz \(\displaystyle{ V=W\oplus W^{\perp}}\). Wiemy że podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) jest nieosobliwa. Czy przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) może być osobliwa?
Wydaje mi się, że nie może byc osobliwa bo gdyby tak było to by znaczyło, że dla każdego wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) z \(\displaystyle{ V}\) istnieje taki inny wektor \(\displaystyle{ \beta}\) taki, że \(\displaystyle{ h(\alpha,\beta)=0}\) a wtedy przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) także byłaby osobliwa. Czy się mylę?
3) Mamy \(\displaystyle{ (V,h)}\) przestrzeń dwuliniowa \(\displaystyle{ \dim V=8}\). Czy może istnieć podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) wymiaru 4 osobliwa?
Tutaj podobne rozumowanie jak w poprzednim zadaniu wskazywałoby, że wtedy \(\displaystyle{ V}\) byłaby osobliwa..
Poprawcie jak się mylę
Trochę teorii
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Re: Trochę teorii
1) Nie istnieje. Skoro jądro jest nietrywialne, to istnieje nietrywialny wektor zerujący \(\displaystyle{ f}\). A więc jest on wektorem własnym dla wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\).
2)+3) Co dokładnie znaczy przestrzeń osobliwa/nieosobliwa? Jak rozumieć \(\displaystyle{ W^\perp}\) w 2)?
2)+3) Co dokładnie znaczy przestrzeń osobliwa/nieosobliwa? Jak rozumieć \(\displaystyle{ W^\perp}\) w 2)?
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 14 gru 2016, o 17:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 2 razy
Trochę teorii
Przestrzeń jest nieosobliwa gdy dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) z \(\displaystyle{ V}\) istnieje \(\displaystyle{ \beta}\) z \(\displaystyle{ V}\) taka, że \(\displaystyle{ h(\alpha,\beta)\neq 0}\) gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest formą dwuliniową.
\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | \alpha \perp \beta \ \ \forall \beta \in V \rbrace}\)
\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | \alpha \perp \beta \ \ \forall \beta \in V \rbrace}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Trochę teorii
A nie raczej tak:
\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | \alpha \perp \beta \ \ \forall \beta \in {\red W} \rbrace}\)
Bo to pewnie jest dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ W}\), to tak by miało jakiś sens.
\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | \alpha \perp \beta \ \ \forall \beta \in {\red W} \rbrace}\)
Bo to pewnie jest dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ W}\), to tak by miało jakiś sens.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Re: Trochę teorii
Wskazówka do trzeciego przez analogię:
Forma \(\displaystyle{ f(x,y)=x_2y_1+x_1y_2}\) jest nieosobliwa, natomiast gdy zawężymy ją do \(\displaystyle{ W=\mbox{lin}\{(1,0)\}}\), otrzymamy formę osobliwą.
Uwaga do definicji:
\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | h(\alpha,\beta)=0 \ \ \forall \beta \inE \rbrace}\)
Wracając do zadania drugiego, dopełnienie determinuje zachowanie formy między poszczególnymi kawałkami przestrzeni. Nie zabrania natomiast tego, by część osobliwa siedziała w \(\displaystyle{ W^\perp}\).
Forma \(\displaystyle{ f(x,y)=x_2y_1+x_1y_2}\) jest nieosobliwa, natomiast gdy zawężymy ją do \(\displaystyle{ W=\mbox{lin}\{(1,0)\}}\), otrzymamy formę osobliwą.
Uwaga do definicji:
W kontekście form dwuliniowych symbol ortogonalności jest zwykle zarezerwowany dla iloczynów skalarnych. Doczytałem, że dopełnienie ortogonalne można zastosować dla dowolnej formy dwuliniowej, ale wtedy definicja winna wyglądać tak:\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | \alpha \perp \beta \ \ \forall \beta \in W \rbrace}\)
\(\displaystyle{ W^{\perp}=\lbrace \alpha \in V | h(\alpha,\beta)=0 \ \ \forall \beta \inE \rbrace}\)
Wracając do zadania drugiego, dopełnienie determinuje zachowanie formy między poszczególnymi kawałkami przestrzeni. Nie zabrania natomiast tego, by część osobliwa siedziała w \(\displaystyle{ W^\perp}\).