Kilka pytań - wektory, wartości własne, przekształcenia

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
slimakslimak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
Podziękował: 7 razy

Kilka pytań - wektory, wartości własne, przekształcenia

Post autor: slimakslimak »

Czy jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A}\), to:
\(\displaystyle{ \cdot}\) Każde dwa wektory własne jej odpowiadające są liniowo zależne? Wydaje mi się, że tak.
\(\displaystyle{ \cdot}\) Istnieją przynajmniej trzy wektory własne odpowiadające \(\displaystyle{ \lambda}\)? W zadaniach zawsze wychodziła cała przestrzeń generowana przez jakiś wektor, więc tych wektorów jest nieskończenie wiele?
\(\displaystyle{ \newline}\)
Jeśli \(\displaystyle{ L:V \rightarrow W}\) jest przekształceniem liniowym to:
\(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ dim Ker L \le dim W}\)? Skoro \(\displaystyle{ Ker L}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), a między wymiarami \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) nie ma żadnej zależności to chyba nie?
\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ L}\) przekształca wektory liniowo niezależne na wektory liniowo niezależne? Nie?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Kilka pytań - wektory, wartości własne, przekształcenia

Post autor: Premislav »

Pierwsze pytanie: to zależy od macierzy \(\displaystyle{ A}\) i od konkretnej wartości własnej. Wcale tak być nie musi, np. macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&4\\0&0&6\end{array}\right]}\)
i wartość własna \(\displaystyle{ 1}\). Wymiar przestrzeni wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ 2}\), np. wektory \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]}\)
spełniają warunek \(\displaystyle{ Av=\lambda v}\) dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) i \(\displaystyle{ A}\) jak wyżej.
Poczytaj o krotności geometrycznej, to jest właśnie wymiar podprzestrzeni wektorów własnych odpowiadających konkretnej wartości własnej.-- 22 cze 2017, o 13:11 --Drugie pytanie: tak, istnieje ich od razu nieskończenie wiele, więc w szczególności przynajmniej trzy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Kilka pytań - wektory, wartości własne, przekształcenia

Post autor: yorgin »

slimakslimak pisze: Jeśli \(\displaystyle{ L:V \rightarrow W}\) jest przekształceniem liniowym to:
\(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ dim Ker L \le dim W}\)? Skoro \(\displaystyle{ Ker L}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), a między wymiarami \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) nie ma żadnej zależności to chyba nie?
Nie ma zależności.
slimakslimak pisze: \(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ L}\) przekształca wektory liniowo niezależne na wektory liniowo niezależne? Nie?
Nie. Prosty przykład to \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{215}\to \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)=0}\).
ODPOWIEDZ