Rzut ortogonalny wielomianu

[Kulkenson]

W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}[x]}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \left( u,w\right) = \int\limits_{0}^{1} u\left( x\right)w\left( x\right) dx}\) znalezc rzut ortogonalny wielomianu \(\displaystyle{ v\left( x\right) =3x+ x^{2}- x^{3}}\) na podprzestrzen \(\displaystyle{ lin\left\{ 1,x\right\}}\)

Chciałbym sie dowiedziec gdzie robie błąd, moje obliczenia:

\(\displaystyle{ u= \alpha + \beta x \\
v-u= 3x+ x^{2}- x^{3}- \alpha - \beta x \\
v-u \perp e_{1} = \int\limits_{0}^{1}3x+ x^{2}- x^{3}- \alpha - \beta x=0 \\
v-u \perp e_{1} = \int\limits_{0}^{1} 3x^{2} + x^{3}- x^{4}- \alpha x -\beta x^{2}=0}\)

Następnie licze całke , wstawiam granice całkowania i wyliczam \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\)
Wyliczone dane wstawiam do równania \(\displaystyle{ u= \alpha + \beta x}\)

[janusz47]

Po obliczeniu wartości współczynników \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\)

Rzut ortogonalny wielomianu \(\displaystyle{ v}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ lin}\) obliczamy ze wzoru

\(\displaystyle{ P = \frac{(v|\alpha+\beta x)}{(\alpha +\beta x| \alpha+\beta x)}(\alpha +\beta x) = \frac{\int_{0}^{1}( v|\alpha +\beta x)dx}{\int_{0}^{1}(\alpha + \beta x)^2dx}(\alpha +\beta x).}\)