Dla formy kwadratowej \(\displaystyle{ h}\) istnieje dokładnie jedna forma dwuliniowa symetryczna o własności \(\displaystyle{ f(v,v)=h(v)}\).
Zachodzi wzór polaryzacyjny \(\displaystyle{ f(u,v)= \frac{1}{2}(h(u+v)-h(u)-h(v))}\). W jaki sposób to udowodnić?
Wzór polaryzacyjny-dowód.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Re: Wzór polaryzacyjny-dowód.
1. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f'}\) i \(\displaystyle{ f''}\) indukują taką samą formę kwadratową. Niech \(\displaystyle{ f=f'-f''}\). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest dwuliniowe i symetryczne oraz \(\displaystyle{ f(v,v)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ v}\).
Rozpisz teraz \(\displaystyle{ 0=f(u+v,u+v)}\) korzystając z dwuliniowości i wywnioskuj tezę.
2. Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie dowolną formą dwuliniową indukującą \(\displaystyle{ h}\), to jest \(\displaystyle{ g(u,u)=h(u)}\). Pokaż, że:
a) \(\displaystyle{ f(u,v)=\frac{1}{2}(g(u,v)+g(v,u))}\) jest dwuliniowe i symetryczne.
b) Oblicz następnie \(\displaystyle{ h(u+v)-h(u)-h(v)}\) i wywnioskuj tezę.
Rozpisz teraz \(\displaystyle{ 0=f(u+v,u+v)}\) korzystając z dwuliniowości i wywnioskuj tezę.
2. Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie dowolną formą dwuliniową indukującą \(\displaystyle{ h}\), to jest \(\displaystyle{ g(u,u)=h(u)}\). Pokaż, że:
a) \(\displaystyle{ f(u,v)=\frac{1}{2}(g(u,v)+g(v,u))}\) jest dwuliniowe i symetryczne.
b) Oblicz następnie \(\displaystyle{ h(u+v)-h(u)-h(v)}\) i wywnioskuj tezę.