Wzór polaryzacyjny-dowód.

[pawlo392]

Dla formy kwadratowej \(\displaystyle{ h}\) istnieje dokładnie jedna forma dwuliniowa symetryczna o własności \(\displaystyle{ f(v,v)=h(v)}\).
Zachodzi wzór polaryzacyjny \(\displaystyle{ f(u,v)= \frac{1}{2}(h(u+v)-h(u)-h(v))}\). W jaki sposób to udowodnić?

[yorgin]

1. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f'}\) i \(\displaystyle{ f''}\) indukują taką samą formę kwadratową. Niech \(\displaystyle{ f=f'-f''}\). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest dwuliniowe i symetryczne oraz \(\displaystyle{ f(v,v)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ v}\).

Rozpisz teraz \(\displaystyle{ 0=f(u+v,u+v)}\) korzystając z dwuliniowości i wywnioskuj tezę.

2. Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie dowolną formą dwuliniową indukującą \(\displaystyle{ h}\), to jest \(\displaystyle{ g(u,u)=h(u)}\). Pokaż, że:

a) \(\displaystyle{ f(u,v)=\frac{1}{2}(g(u,v)+g(v,u))}\) jest dwuliniowe i symetryczne.

b) Oblicz następnie \(\displaystyle{ h(u+v)-h(u)-h(v)}\) i wywnioskuj tezę.