Dla jakiego t podana forma kwadratowa jest dodatnio określon

[sajran]

Mam następujące zadanie:
Dla jakiego \(\displaystyle{ t \in R}\) forma kwadratowa jest dodatnio określona w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)?
Nigdzie w internecie ani w notatkach nie udało mi się znaleźć w jaki sposób takie zadanie rozwiązywać więc zrobiłem to "na czuja" wiedząc, że żeby forma kwadratowa była dodatnio określona wszystkie minory główne jej macierzy muszą być dodatnie.

A więc mamy przykład:
\(\displaystyle{ A(x) = 5x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + tx_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} - 2x_{2}x_{3}}\)
Zapisuję macierz:
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&t\end{array}\right]}\)
Wszystkie minory główne mają być dodatnie:
\(\displaystyle{ \Delta_{1} = \left| 5\right| = 5 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{2} = \left|\begin{array}{cc}5&2\\2&1\end{array}\right| = 5 - 4 = 1 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{3} = \left|\begin{array}{ccc}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&t\end{array}\right| = t - 2}\)
\(\displaystyle{ t - 2 > 0\newline t > 2}\)
A więc forma kwadratowa jest dodatnia dla \(\displaystyle{ t > 2}\).

Czy to rozwiązanie ma sens?

[Dreeze]

Jak najbardziej.
Na mocy twierdzenia Sylvestera, forma kwadratowa jest dodatnio określona, gdy wszystkie minory główne jej macierzy są większe od zera, czyli takie których diagonala zawiera się w przekątnej macierzy.