W owym dowodzie zastanawia mnie pewien fakt. Na początku sumujemy po permutacjach \(\displaystyle{ n+1}\) elementowych, a później przechodzimy na permutacje \(\displaystyle{ n}\) elementowe.
Dlaczego tak możemy zrobić? Czy znak permutacji się nie zmieni?
Dowód lematu Laplace'a
- Dreeze
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 8 maja 2017, o 19:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 14 razy
Re: Dowód lematu Laplace'a
Chodzi o ten lemat, tak?:
Dowodzi się to tak:
W skrócie (bo domyślam się że dowód znasz) wyrzucamy go przed sumę i otrzymujemy tezę.
Natomiast dlaczego znak permutacji się nie zmieni? Zobacz:
LEMAT:
\(\displaystyle{ det B' = \sum \limits_{\sigma \in S_{n+1}} \varepsilon(\sigma) \cdot b_{\sigma(1)1} \cdot \ldots \cdot b_{\sigma(n)n} \cdot b_{\sigma(n+1)n+1}\\}\)
Zauważmy, że ostatni wyraz jest równy zero, jeżeli \(\displaystyle{ \sigma(n+1) \neq n+1}\).W skrócie (bo domyślam się że dowód znasz) wyrzucamy go przed sumę i otrzymujemy tezę.
Natomiast dlaczego znak permutacji się nie zmieni? Zobacz:
\(\displaystyle{ \sum \limits_{\mathclap{{\substack{{\sigma \in} S_{n+1}\\ \sigma(n+1)=n+1}}}} \varepsilon(\sigma) \cdot b_{\sigma(1)1} \cdot \ldots \cdot b_{\sigma(n)n} \cdot b_{\sigma(n+1)n+1} =\\}\)
\(\displaystyle{ = \sum \limits_{\sigma \in S_n} (-1)^{(n+1)+(n+1)} \cdot b_{n+1;n+1} \cdot \varepsilon(\sigma) \cdot b_{\sigma(1)1} \cdot \ldots \cdot b_{\sigma(n)n}\\}\)
A ponieważ
\(\displaystyle{ (-1)^{(n+1)+(n+1)} = (-1)^{2(n+1)} = 1}\)
Więc ostatecznie znak się nie zmieni.