Dowód lematu Laplace'a

[Benny01]

W owym dowodzie zastanawia mnie pewien fakt. Na początku sumujemy po permutacjach \(\displaystyle{ n+1}\) elementowych, a później przechodzimy na permutacje \(\displaystyle{ n}\) elementowe.
Dlaczego tak możemy zrobić? Czy znak permutacji się nie zmieni?

[a4karo]

A coś bliżej?

[Dreeze]

Chodzi o ten lemat, tak?:

LEMAT:    

Niech dla każdego \(\displaystyle{ i,j \in \{1,\ldots, n+1\}, \ b_{ij} \in \mathbb{K}}\), wtedy zachodzi następująca równość:

\(\displaystyle{ det B' = det \begin{bmatrix}b_{11} & \ldots & b_{n1} & 0 \\ \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & \ldots & b_{nn} & 0 \\ b_{n+1 \ 1} & \ldots & b_{n+1 \ n} & b_{n+1 \ n+1} \end{bmatrix} = b_{n+1,n+1} \cdot det B}\)

gdzie \(\displaystyle{ B = [b_{ij}]_{n\times n}}\)

Dowodzi się to tak:

\(\displaystyle{ det B' = \sum \limits_{\sigma \in S_{n+1}} \varepsilon(\sigma) \cdot b_{\sigma(1)1} \cdot \ldots \cdot b_{\sigma(n)n} \cdot b_{\sigma(n+1)n+1}\\}\)

Zauważmy, że ostatni wyraz jest równy zero, jeżeli \(\displaystyle{ \sigma(n+1) \neq n+1}\).
W skrócie (bo domyślam się że dowód znasz) wyrzucamy go przed sumę i otrzymujemy tezę.

Natomiast dlaczego znak permutacji się nie zmieni? Zobacz:

\(\displaystyle{ \sum \limits_{\mathclap{{\substack{{\sigma \in} S_{n+1}\\ \sigma(n+1)=n+1}}}} \varepsilon(\sigma) \cdot b_{\sigma(1)1} \cdot \ldots \cdot b_{\sigma(n)n} \cdot b_{\sigma(n+1)n+1} =\\}\)

\(\displaystyle{ = \sum \limits_{\sigma \in S_n} (-1)^{(n+1)+(n+1)} \cdot b_{n+1;n+1} \cdot \varepsilon(\sigma) \cdot b_{\sigma(1)1} \cdot \ldots \cdot b_{\sigma(n)n}\\}\)

A ponieważ

\(\displaystyle{ (-1)^{(n+1)+(n+1)} = (-1)^{2(n+1)} = 1}\)

Więc ostatecznie znak się nie zmieni.

[Benny01]

O to mi dokładnie chodziło. Dzięki