\(\displaystyle{ x^2=yz+1}\) (1)
\(\displaystyle{ y^2=zx+2}\) (2)
\(\displaystyle{ z^2=xy+4}\) (3)
\(\displaystyle{ x, y, z \in \mathbb{R}}\)
Moje rozwiązanie:
Od razu zauważmy, że jeśli układ ma rozwiązanie, to liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są parami różne.
(1)-(2): \(\displaystyle{ (x+y+z)(x-y)=-1}\)
(2)-(3): \(\displaystyle{ (x+y+z)(y-z)=-2}\)
(3)-(1): \(\displaystyle{ (x+y+z)(z-x)=-3}\)
stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ 2x-2y=y-z}\)
\(\displaystyle{ 3y-3z=2z-2x}\)
\(\displaystyle{ z-x=3x-3y}\),
i po dodaniu stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ x+y-2z=x-2y+z}\),
skąd \(\displaystyle{ y=z}\), czyli układ nie ma rozwiązań.
Niestety jednak trójka \(\displaystyle{ (x, y, z)=(1, 0, -2)}\) spełnia powyższy układ równań, czyli moje rozwiązanie posiada usterkę, której samodzielnie odnaleźć nie potrafię...
Proszę o pomoc!