Układ równań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Hayran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 11 razy

Układ równań

Post autor: Hayran »

\(\displaystyle{ x^2=yz+1}\) (1)
\(\displaystyle{ y^2=zx+2}\) (2)
\(\displaystyle{ z^2=xy+4}\) (3)
\(\displaystyle{ x, y, z \in \mathbb{R}}\)

Moje rozwiązanie:
Od razu zauważmy, że jeśli układ ma rozwiązanie, to liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są parami różne.
(1)-(2): \(\displaystyle{ (x+y+z)(x-y)=-1}\)
(2)-(3): \(\displaystyle{ (x+y+z)(y-z)=-2}\)
(3)-(1): \(\displaystyle{ (x+y+z)(z-x)=-3}\)

stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ 2x-2y=y-z}\)
\(\displaystyle{ 3y-3z=2z-2x}\)
\(\displaystyle{ z-x=3x-3y}\),

i po dodaniu stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ x+y-2z=x-2y+z}\),
skąd \(\displaystyle{ y=z}\), czyli układ nie ma rozwiązań.

Niestety jednak trójka \(\displaystyle{ (x, y, z)=(1, 0, -2)}\) spełnia powyższy układ równań, czyli moje rozwiązanie posiada usterkę, której samodzielnie odnaleźć nie potrafię...
Proszę o pomoc!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Układ równań

Post autor: a4karo »

Zauważ, że ta trójka nie spełnia równania (3)-(1). Tam szukaj
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Układ równań

Post autor: Benny01 »

\(\displaystyle{ (x+y+z)(z-x)={\red 3}}\)
ODPOWIEDZ