B=\{w \in \RR[x]_n : w^{''}(0) = w^{(3)}(0)= \ldots =w^{(n)}(0) =0 \}\\
C=\{w \in \RR[x]_n : w(0) \cdot w(2) \ge 0\}}\)
Które z tych podzbiorów są podprzestrzeniami wektorowymi? Znajdź ich wymiary i bazy. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \RR[x]_n}\) jest sumą prostą dwóch wypisanych wyżej podprzestrzeni.
Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta,a_n, \ldots, a_0, b_n,\ldots, b_0 \in \RR}\) oraz niech \(\displaystyle{ v_1(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0 \\ v_2(x) = b_nx^n + \ldots + b_1x + b_0}\).
AD.A.
Wiemy, że każdy wektor z tego podzbioru jest postaci \(\displaystyle{ w(x)=a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0}\)
Wiemy też, że \(\displaystyle{ w(0)=a_0 = 0}\) oraz że \(\displaystyle{ w'(0) = a_1 =0}\).
Wobec, tego \(\displaystyle{ 0 \in A}\), wystarczy sprawdzić, czy dla każdego \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \RR}\), \(\displaystyle{ \alpha v_1 + \beta v_2 \in A}\).
\(\displaystyle{ \alpha v_1 + \beta v_2 = \alpha(a_nx^n + \ldots + a_2x^2) + \beta(b_nx^n + \ldots b_2x^2) =\\= x^n(\alpha a_n+ \beta b_n) + \ldots + x^2(\alpha a_2 +\beta b_2) \in \RR[x]_n}\).
Wobec tego \(\displaystyle{ A}\) jest podprzestrzenią wektorową.
Teraz szukamy bazy.
\(\displaystyle{ A}\) składa się z wielomianów co najwyżej n-tego stopnia, których wartość oraz wartość pierwszej pochodnej w zerze jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Czyli:
\(\displaystyle{ A=\{w(x) = a_nx^n + \ldots + a_2x^2 : a_2,\ldots, a_n \in \RR\} =lin \{x^n, \ldots, x^2\}.\\
B_A = (x^n,\ldots,x^2)}\)
i \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ n-1}\) wymiarowa.
AD.B.
Tutaj tylko \(\displaystyle{ w(0)}\) oraz \(\displaystyle{ w'(0)}\) są różne od zera.
Wobec tego:
\(\displaystyle{ w^{''}(0) = n(n-1)a_nx^{n-2} + \ldots + 2a_2= 0}\)
itd..
więc wszystkie współczynniki poza \(\displaystyle{ a_0, a_1}\) są równe \(\displaystyle{ 0}\), w końcu wielomiany w tym zbiorze są postaci:
\(\displaystyle{ w(x) = a_1x + a_0}\).
Czy \(\displaystyle{ 0 \in \RR[x]_n}\):
\(\displaystyle{ a_1x + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_0 = -a_1x \Leftrightarrow x=-\frac{a_0}{a_1}}\)
Teraz drugi z warunków:
\(\displaystyle{ \alpha v_1 + \beta v_2 = \alpha(a_1x + a_0) + \beta (b_1x+b_0)= x(\alpha a_1 + \beta b_1) + \alpha a_0 + \beta b_0 \in B.}\)
No i baza...
\(\displaystyle{ B= \{w(x) = a_1x + a_0 : a_1,a_0 \in \RR\} = lin\{x,1\}.\\
B_B = (x,1)}\)
wymiar \(\displaystyle{ B=2}\).
AD.C.
Zero otrzymamy dla takich wielomianów, w których współczynnik wolny, \(\displaystyle{ a_0=0}\).
Jak tutaj sprawdzić ten drugi warunek?
Czy reszta jest poprawna?
-- 15 cze 2017, o 16:44 --
\(\displaystyle{ A\oplus B = \{x^n, \ldots, x,1\}}\)blade pisze:\(\displaystyle{ A = \{ w \in \RR[x]_n : w(0)=w'(0) = 0\} \\
B=\{w \in \RR[x]_n : w^{''}(0) = w^{(3)}(0)= \ldots =w^{(n)}(0) =0 \}\\}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \RR[x]_n}\) jest sumą prostą dwóch wypisanych wyżej podprzestrzeni.
Są liniowo niezależne, a ich wymiar jest równy \(\displaystyle{ n+1= \dim \RR[x]_n}\) wobec tego, \(\displaystyle{ \RR[x]_n = A\oplus B}\).
