Obliczyć wyznacznik operatora liniowego F działającego w przestrzeni wielomianów \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[t]}\) i danego wzorem:
\(\displaystyle{ (Fw)(t) = w(0) + t w'(t) + t\limits_{-1}^{1} w(t)dt}\)
mógłby ktoś wytłumaczyć jak z tego wyliczyć macierz a potem jej wyznacznik?
wyznacznik operatora liniowego
-
Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
wyznacznik operatora liniowego
α W jakiej bazie chcesz zapisać operator F?
Standardowo przyjmuje się, że \(\displaystyle{ \,\mathbb{R}_2[t]\,=\,\langle1,t,t^2\rangle\,}\).
β Oznaczając elementy bazy przez \(\displaystyle{ e_0}\), \(\displaystyle{ e_1}\), \(\displaystyle{ e_2}\), rozpisujesz w owej bazie działanie operatora F na elementach bazy.
\(\displaystyle{ F(e_0)(t)\,=\,3\,=\,3e_0(t) \\ F(e_1)(t)\,=\,t\,=\,e_1(t) \\ F(e_2)(t)\,=\,2t^2+\frac23\,=\,\frac23e_0(t)+2e_2(t)}\)
γ W powyższej bazie macierz operatora F jest zatem równa
\(\displaystyle{ F\,=\,\begin{pmatrix}3&0&0\cr0&1&0\cr\frac23&0&2\end{pmatrix}}\)
... skąd już łatwo widać, że szukany "wyznacznik" wynosi 6 (piszę w cudzysłowie, bo zależy on w sposób istotny od wyboru bazy...)
Pozdrawiam ...
Standardowo przyjmuje się, że \(\displaystyle{ \,\mathbb{R}_2[t]\,=\,\langle1,t,t^2\rangle\,}\).
β Oznaczając elementy bazy przez \(\displaystyle{ e_0}\), \(\displaystyle{ e_1}\), \(\displaystyle{ e_2}\), rozpisujesz w owej bazie działanie operatora F na elementach bazy.
\(\displaystyle{ F(e_0)(t)\,=\,3\,=\,3e_0(t) \\ F(e_1)(t)\,=\,t\,=\,e_1(t) \\ F(e_2)(t)\,=\,2t^2+\frac23\,=\,\frac23e_0(t)+2e_2(t)}\)
γ W powyższej bazie macierz operatora F jest zatem równa
\(\displaystyle{ F\,=\,\begin{pmatrix}3&0&0\cr0&1&0\cr\frac23&0&2\end{pmatrix}}\)
... skąd już łatwo widać, że szukany "wyznacznik" wynosi 6 (piszę w cudzysłowie, bo zależy on w sposób istotny od wyboru bazy...)
Pozdrawiam ...