Macierz odwzorowania afinicznego

[pawlo392]

W jaki sposób znaleźć macierz odwzorowania afinicznego w standardowym układzie współrzędnych , zadanego jako symetria względem prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ (2,0) \ (0,1)}\).

[janusz47]

Rysunek w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Równanie prostej przechodzącej przez dane dwa punkty

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1,}\)

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{2}x +1}\) (1)

Niech dany będzie punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\) i symetryczny względem jego punkt \(\displaystyle{ B(x', y').}\)

Punkt \(\displaystyle{ C = \left( \frac{x+x'}{2}, \ \ \frac{y+y'}{2}\right)}\) leży na prostej ( osi symetrii) więc spełnia równanie prostej (1)

\(\displaystyle{ \frac{y+y'}{2} = -\frac{1}{2}\left( \frac{x+x'}{2}\right)+1}\) (2)

Z drugiej strony wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} = [ x'- x, \ \ y' - y ]}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ \vec{k} = (2, 0 ) - (0,1) = [2, -1].}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ \vec{AB} \cdot \vec{k} = 0}\) ( iloczyn skalarny tych wektorów jest równy
zeru).

\(\displaystyle{ [ x' - x, \ \ y' - y ] \cdot [2, -1] = 0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ 2x' -2x -y' +y = 0}\) (3)

Proszę rozwiązać układ równań liniowych \(\displaystyle{ (2) (3),}\) wyznaczając \(\displaystyle{ x' , y'}\) w zależności od \(\displaystyle{ x, y}\) i zapisać równania rozwiązań w postaci macierzowej.

[pawlo392]

Bardzo dziękuje