Macierz dodatnio/ujemnie określona

[matematykiv]

Cześć,

potrzebuję małego upewnienia się w kwestii określoności macierzy (w celu wyznaczania ekstremów funkcji wielu zmiennych, czyli macierze są symetryczne).

Macierz jest dodatnio określona (minimum lokalne), gdy jej wiodące minory główne są dodatnie.
Macierz jest ujemnie określona (maksimum lokalne), gdy jej wiodące minory główne są na przemian ujemne i dodatnie (zaczynając od ujemnego).
Macierz jest nieokreślona jeśli jej wiodące minory główne są ujemne (brak ekstremum).
Macierz jest nieokreślona jeśli jej wiodące minory są na przemian dodatnie i ujemne (zaczynając od dodatniego) (brak ekstremum).

Czy wszystko się zgadza?

[yorgin]

Nie wszystko.

Macierz jest nieokreślona, gdy jej ciąg znaków minorów głównych nie zgadza się z jednym z dwóch:

\(\displaystyle{ ++++++}\)

\(\displaystyle{ -+-+-+\ldots}\)

Zatem dowolna inna konfuguracja daje macierz nieokreśloną.

\(\displaystyle{ +++++-++}\) jest nieokreślona

\(\displaystyle{ ----++--+++--}\) jest niekoreslona

\(\displaystyle{ -++-++-+}\) jest nieokreślona

itp.

[matematykiv]

A jak występują zera, np. \(\displaystyle{ - 0 - + - 0 -}\) to mamy macierz nieokreśloną? A jeśli \(\displaystyle{ - 0 - 0 ..}\) to mamy niedodatnio określoną i może być maksimum?

[yorgin]

Jeżeli zamiast jakiegoś plusa lub minusa jest \(\displaystyle{ 0}\), ale struktura pozostałych znaków jest zachowana, to odpowiednia okresloność zamienia się na półokreśloność.

\(\displaystyle{ - 0 - 0}\) daje więc macierz ujemnie półokreśloną. Ekstremum nadal istnieje, ale nie jest właściwe.