Wyznaczyć eksponantę macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2\\1&4\end{bmatrix}}\).
Nie wiem czy dobrze to rozumiem, najpierw wyznaczamy postać kanoniczną Jordana:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1&-1\\1&2\end{bmatrix}}\), a następnie środkową macierz zamieniamy na \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} e^2&0\\0&e^3\end{bmatrix}}\) i to tyle?
Wyznaczyć eksponantę macierzy
-
mint18
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Wyznaczyć eksponantę macierzy
A jakbym zamiast \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0\\0&3\end{bmatrix}}\) w środku, miał \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1\\0&2\end{bmatrix}}\)?
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Wyznaczyć eksponantę macierzy
Znając rozkład \(\displaystyle{ A = P J P^{-1}}\) można to włożyć do wzoru \(\displaystyle{ \exp A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!}}\) i da się pokazać, że jest to równe \(\displaystyle{ P \sum_{n=0}^{\infty} \frac{J^n}{n!} P^{-1}}\). Walić nawiasy, buntuję się, więc jestem
Wystarczy zatem pokazać jak skonstruować \(\displaystyle{ \exp J}\). Otóż wystarczy dokonać dekompozycji: \(\displaystyle{ J = \lambda I + K}\), a zatem \(\displaystyle{ \exp J = \exp \lambda \cdot \exp K}\).
Pozostaje wyznaczyć \(\displaystyle{ \exp K}\) i tutaj już nie ma innej opcji, tylko trzeba położyć to do szeregu i zsumować. Ta dekompozycja dała nam tą przewagę, że \(\displaystyle{ K}\) jest taką macierzą, która na przekątnej ma same zera, a jedyne jej niezerowe elementy będą leżały ponad przekątną. Oznacza to, że należy zsumować tylko skończoną liczbę składników. Dodatkowo z każdą kolejną potęgą ta linia jedynek, które znajdują się ponad przekątną będzie przesuwać się w kierunku prawego górnego rogu.
Ładnie to widać jak się zrobi jakiś konkretny przykład, ale na to teraz nie mam czasu. Jutro to mogę szczegółowiej rozpisać, choć wydaje mi się, że na forum znajdziesz kilka przykładów z macierzami niediagonalizowalnymi.
Jeszcze ciekawiej jest, gdy postać Jordana nie jest diagonalna i składa się z kilku róznych klatek Jordana
Wystarczy zatem pokazać jak skonstruować \(\displaystyle{ \exp J}\). Otóż wystarczy dokonać dekompozycji: \(\displaystyle{ J = \lambda I + K}\), a zatem \(\displaystyle{ \exp J = \exp \lambda \cdot \exp K}\).
Pozostaje wyznaczyć \(\displaystyle{ \exp K}\) i tutaj już nie ma innej opcji, tylko trzeba położyć to do szeregu i zsumować. Ta dekompozycja dała nam tą przewagę, że \(\displaystyle{ K}\) jest taką macierzą, która na przekątnej ma same zera, a jedyne jej niezerowe elementy będą leżały ponad przekątną. Oznacza to, że należy zsumować tylko skończoną liczbę składników. Dodatkowo z każdą kolejną potęgą ta linia jedynek, które znajdują się ponad przekątną będzie przesuwać się w kierunku prawego górnego rogu.
Ładnie to widać jak się zrobi jakiś konkretny przykład, ale na to teraz nie mam czasu. Jutro to mogę szczegółowiej rozpisać, choć wydaje mi się, że na forum znajdziesz kilka przykładów z macierzami niediagonalizowalnymi.
Jeszcze ciekawiej jest, gdy postać Jordana nie jest diagonalna i składa się z kilku róznych klatek Jordana